Γωνία από περίμετρο

KARKAR · #1

: Γωνία από περίμετρο.png (7.91 KiB) Προβλήθηκε 1093 φορές

Στο πλευράς

τετράγωνο $\displaystyle ABC$ , παίρνουμε σημείο

της

, ώστε

.

Εντοπίστε σημείο

της

, έτσι ώστε το τρίγωνο PSB

, να έχει περίμετρο

.

Στη συνέχεια υπολογίστε τη γωνία $\widehat{SDP}$ .

#2

Καλησπέρα σε όλους.

Τριγωνομετρικά μπορούμε να υπολογίσουμε τη ζητούμενη γωνία δίχως να προηγηθεί το 1ο ερώτημα.

: 25-04-2017 Γεωμετρία.jpg (11.24 KiB) Προβλήθηκε 1077 φορές

Έστω $\displaystyle \widehat {ADS} = \omega ,\;0 < \omega < \frac{\pi }{4},\;\;\widehat {CDP} = \varphi ,\;0 < \varphi < \frac{\pi }{4}$ .

Είναι $\displaystyle AS = a \cdot \varepsilon \varphi \omega \Rightarrow x = a\left( {1 - \varepsilon \varphi \omega } \right),\;\;CP = a \cdot \varepsilon \varphi \varphi \Rightarrow y = a\left( {1 - \varepsilon \varphi \varphi } \right)$

Είναι $\displaystyle \begin{array}{l} x + y + \sqrt {{x^2} + {y^2}} = 2a \Leftrightarrow a\left( {1 - \varepsilon \varphi \omega } \right) + a\left( {1 - \varepsilon \varphi \varphi } \right) + a\sqrt {{{\left( {1 - \varepsilon \varphi \omega } \right)}^2} + {{\left( {1 - \varepsilon \varphi \varphi } \right)}^2}} = 2a\\ \end{array}$
$\displaystyle \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {1 - \varepsilon \varphi \omega } \right)}^2} + {{\left( {1 - \varepsilon \varphi \varphi } \right)}^2}} = \varepsilon \varphi \varphi + \varepsilon \varphi \omega$

$\displaystyle \Leftrightarrow 1 - \varepsilon \varphi \omega - \varepsilon \varphi \varphi = \varepsilon \varphi \varphi \cdot \varepsilon \varphi \omega$

$\displaystyle \Leftrightarrow \frac{{\varepsilon \varphi \omega + \varepsilon \varphi \varphi }}{{1 - \varepsilon \varphi \varphi \cdot \varepsilon \varphi \omega }} = 1 \Leftrightarrow \varepsilon \varphi \left( {\varphi + \omega } \right) = 1 \Leftrightarrow \varphi + \omega = \frac{\pi }{4}$ , οπότε $\displaystyle \widehat \theta = \frac{\pi }{4}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε:Γωνία από περίμετρο.pngΣτο πλευράς τετράγωνο $\displaystyle ABC$ , παίρνουμε σημείο της , ώστε .

Εντοπίστε σημείο της , έτσι ώστε το τρίγωνο , να έχει περίμετρο .

Στη συνέχεια υπολογίστε τη γωνία $\widehat{SDP}$ .

Ο κύκλος $\displaystyle{\left( {D,DS} \right)}$ τέμνει την $\displaystyle{BC}$ στο $\displaystyle{Q}$ .Η μεσοκάθετος του $\displaystyle{QS}$ τέμνει την $\displaystyle{BC}$ στο $\displaystyle{P}$ που είναι το ζητούμενο σημείο

Πράγματι, $\displaystyle{\vartriangle DAS = \vartriangle DQC \Rightarrow \boxed{AS = QC}}$ και $\displaystyle{\boxed{\angle x = \angle y}}$

$\displaystyle{PS + SB + BP = QP + SB + BP + = QC + CP + SB + BP = AS + CP + SB + BP = 2\alpha }$

Επειδή $\displaystyle{\angle x = \angle y \Rightarrow \angle SDQ = {90^0}}$ .Άρα $\displaystyle{\vartriangle SDQ}$ ορθογώνιο-ισοσκελές οπότε $\displaystyle{\boxed{\theta = {{45}^0}}}$

: γωνία από περίμετρο.png (15.64 KiB) Προβλήθηκε 1053 φορές

#4

KARKAR έγραψε:Γωνία από περίμετρο.pngΣτο πλευράς τετράγωνο $\displaystyle ABC$ , παίρνουμε σημείο της , ώστε .

Εντοπίστε σημείο της , έτσι ώστε το τρίγωνο , να έχει περίμετρο .

Στη συνέχεια υπολογίστε τη γωνία $\widehat{SDP}$ .

Καλημέρα!

: Γωνία από περίμετρο.png (11.28 KiB) Προβλήθηκε 1023 φορές

Η εφαπτομένη του κύκλου (D, a)

από το

τέμνει την

στο ζητούμενο σημείο

Πράγματι, επειδή ο κύκλος είναι

παρεγγεγραμμένος του τριγώνου SBP

θα έχει ημιπερίμετρο BC=BA=a.

Από κατασκευής είναι $\boxed{\theta=45^0}$

Γωνία από περίμετρο

Γωνία από περίμετρο

Re: Γωνία από περίμετρο

Re: Γωνία από περίμετρο

Re: Γωνία από περίμετρο

Μέλη σε σύνδεση