Σε ευθεία!
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, rek2
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Σε ευθεία!
Έστω τρίγωνο , τα ύψη και το ορθόκεντρό του. Έστω το σημείο τομής της με την προέκταση της και το μέσο του . Τέλος έστω το σημείο τομής της κάθετης από το στην και της κάθετης από το στην .
Να αποδειχθεί ότι τα είναι συνευθειακά.
Να αποδειχθεί ότι τα είναι συνευθειακά.
Houston, we have a problem!
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Σε ευθεία!
Αρχικά συγγνώμη που δεν κάνω σχήμα(δεν έχω μάθει να το χειρίζομαι το mathematica).Φέρνω τον περιγεγραμμένο κύκλο του ΕDCB.Η ΖΑ είναι πολική του Η (γιατί;) οπότε η πολική του Ζ θα περνάει από το Η.Επιπλέον, η πολική του Ζ είναι η ΑΗ μιας και είναι κάθετη στο ΜΖ(Μ κέντρο του κύκλου).Άρα η πολική του Ζ περνάει από το Α--->η πολική του Α είναι η ΖΗ.Θα αποδείξω ότι η ΖΗ περνάει από το Τ.Η πολική του C είναι η εφαπτομένη στο C και περνάει από το Τ--->Η πολική του Τ θα περνάει από το C.Επιπλέον, επειδή η ΤΜ είναι κάθετη με την AC, η πολική του Τ είναι η ΑC(περνάει από το Α).Άρα και η πολική του Α περνάει από το Τ...
Re: Σε ευθεία!
Μία διαπραγμάτευση και γω... φέρνω πάλι τον περιγεγραμμένο κύκλο του , θα δείξω ότι η εφάπτεται σε αυτόν.
Προφανώς:
και αφού το μέσο της η μεσοκάθετη του τμήματος άρα:
και έχω πως η εφαπτόμενη.Πλέον το ζητούμενο εμφανές από το θεώρημα στο εκφυλισμένο:
Προφανώς:
και αφού το μέσο της η μεσοκάθετη του τμήματος άρα:
και έχω πως η εφαπτόμενη.Πλέον το ζητούμενο εμφανές από το θεώρημα στο εκφυλισμένο:
Αρμενιάκος Σωτήρης
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Σε ευθεία!
sot arm έγραψε:Μία διαπραγμάτευση και γω... φέρνω πάλι τον περιγεγραμμένο κύκλο του , θα δείξω ότι η εφάπτεται σε αυτόν.
Προφανώς:
και αφού το μέσο της η μεσοκάθετη του τμήματος άρα:
και έχω πως η εφαπτόμενη.Πλέον το ζητούμενο εμφανές από το θεώρημα στο εκφυλισμένο:
Σε ευθεία.png
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Σε ευθεία!
Η δική μου λύση:
Έστω το ίχνος του ύψους από το .
Αρχικά παρατηρούμε ότι το τετράπλευρο είναι πλήρες. Οι διαγώνιοι και τέμνουν την τρίτη διαγώνιο στα και αντίστοιχα, άρα από γνωστό λήμμα έχουμε πως .
Από τη σχέση για το μέσο της και την αρμονική τετράδα έχουμε πως (1).
Θεωρούμε κέντρο ομοιοθεσίας το και λόγο .
Αυτό σημαίνει ότι το είναι ομοιόθετο του .
Από τη σχέση (1) όμως θα είναι και το το ομοιόθετο του στην ίδια ομοιοθεσία.
Ακόμη αφού , θα είναι η ομοιόθετη ευθεία της .
Έστω το ομοιόθετο του . Το είναι στην ευθεία , αλλά και στην ευθεία , δηλαδή είναι η τομή τους. Ακόμη αν φέρουμε την παράλληλη από το προς την , τότε το (το ομοιόθετο του ) θα ανήκει στην , αλλά και στη συγκεκριμένη παράλληλη, επομένως είναι η τομή τους.
Με άλλα λόγια . Όμως , άρα .
Με άλλα λόγια το είναι το ορθόκεντρο του . Το είναι το ορθόκεντρο του . Αφού όμως τα τρίγωνα και είναι ομοιόθετα, θα είναι και τα ορθόκεντρά τους ομοιόθετα. Άρα πράγματι τα σημεία είναι συνευθειακά.
Houston, we have a problem!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 2 επισκέπτες