Ισόπλευρο τρίγωνο 9.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 301.png (9.04 KiB) Προβλήθηκε 1089 φορές

Το τρίγωνο $AB\Gamma$ του παραπάνω σχήματος είναι ισόπλευρο και το

τυχαίο
σημείο της πλευράς του $B\Gamma$ . Υπολογίστε το λόγο $\dfrac{(AB\Gamma )}{(MAN)}$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:301.png

Το τρίγωνο $AB\Gamma$ του παραπάνω σχήματος είναι ισόπλευρο και το τυχαίο
σημείο της πλευράς του $B\Gamma$ . Υπολογίστε το λόγο $\dfrac{(AB\Gamma )}{(MAN)}$ .

$\displaystyle{\frac{{\left( {ABC} \right)}}{{\left( {AMN} \right)}} = \frac{{2\left( {AMN} \right) + 2\left( {ABM} \right) + 2\left( {ACN} \right)}}{{2\left( {AMN} \right)}} = 1 + \frac{{\left( {MB + NC} \right)AZ}}{{MN \cdot AZ}}}$ $\displaystyle{ = 1 + \frac{{\left( {\frac{{BP}}{4} + \frac{{PC}}{4}} \right)}}{{BC - \left( {\frac{{BP}}{4} + \frac{{PC}}{4}} \right)}} = 1 + \frac{{\frac{{BC}}{4}}}{{3\frac{{BC}}{4}}} = \frac{4}{3}}$

: IT9.png (14.25 KiB) Προβλήθηκε 1075 φορές

#3

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:301.png

Το τρίγωνο $AB\Gamma$ του παραπάνω σχήματος είναι ισόπλευρο και το τυχαίο
σημείο της πλευράς του $B\Gamma$ . Υπολογίστε το λόγο $\dfrac{(AB\Gamma )}{(MAN)}$ .

Καλησπέρα!

: Ισόπλευρο 9.png (12.88 KiB) Προβλήθηκε 1067 φορές

$\displaystyle{\frac{{({\rm A}{\rm P}{\rm B})}}{{({\rm A}{\rm P}{\rm M})}} = \frac{{{\rm P}{\rm B}}}{{{\rm P}{\rm M}}} = \frac{{{\rm P}{\rm B}}}{{\frac{{{\rm P}{\Delta ^2}}}{{{\rm P}{\rm B}}}}} = {\left( {\frac{{{\rm P}{\rm B}}}{{{\rm P}\Delta }}} \right)^2} = \frac{4}{3}}.$ Ομοίως είναι $\displaystyle{\frac{{({\rm A}{\rm P}\Gamma )}}{{({\rm A}{\rm P}{\rm N})}} = \frac{4}{3}}$

Άρα: $\displaystyle{\frac{{({\rm A}{\rm P}{\rm B})}}{{({\rm A}{\rm P}{\rm M})}} = \frac{{({\rm A}{\rm P}\Gamma )}}{{({\rm A}{\rm P}{\rm N})}} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow }$ $\boxed{\frac{{({\rm A}{\rm B}\Gamma )}}{{({\rm A}{\rm M}{\rm N})}} = \frac{4}{3}}$

Επεξεργασία: Έβαλα το σχήμα.

Φανης Θεοφανιδης · #4

Το ίδιο αποτέλεσμα έχω και εγώ Γιώργο και Μιχάλη.

#5

Θέτω $MB = x\,\,,NC = y\,\,,DB = u\,\,,EC = v$ .

Ισχύουν : $\left\{ \begin{gathered} PB = 2u = 2 \cdot 2x = 4x \hfill \\ PC = 2v = 2 \cdot 2y = 4y \hfill \\ \end{gathered} \right.$ προσθέτω κατά μέλη και έχω

$a = 4(x + y) \Leftrightarrow \boxed{x + y = \frac{a}{4} \Leftrightarrow MN = \frac{3}{4}a}$ Για τρίγωνα με ίσα ύψη ο λόγος εμβαδών ισούται με το

: ιαόπλευρο 9.png (19.05 KiB) Προβλήθηκε 1045 φορές

λόγο των βάσεων , άρα $\boxed{\frac{{(AMN)}}{{(ABC)}} = \frac{3}{4}}$

Ισόπλευρο τρίγωνο 9.

Ισόπλευρο τρίγωνο 9.

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο 9.

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο 9.

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο 9.

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο 9.

Μέλη σε σύνδεση