Ισόπλευρο τρίγωνο 10.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 500.png (12.26 KiB) Προβλήθηκε 1146 φορές

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο $AB\Gamma$ , τυχαίο σημείο $\Delta$ της πλευράς του $B\Gamma$ και
η διχοτόμος

της γωνίας $\angle \Gamma A\Delta$ (

σημείο της $B\Gamma$ ). Ο περίκυκλος του
τριγώνου $AB\Delta$ τέμνει την

στο

και η $\Delta Z$ τέμνει την $A\Gamma$ στο

.
Δείξτε ότι ZE=ZH

.

S.E.Louridas · #2

Θα κάνω άρση της απόκρυψης μετά από την επόμενη λύση.
Η $\Delta H$ είναι διχοτόμος και το $ZH\Gamma E$ είναι εγγράψιμμο, άρα ZH=ZE

, αφού η $\Gamma Z$ καθίσταται διχοτόμος

edit: Άρση της απόκρυψης

#3

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:500.png

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο $AB\Gamma$ , τυχαίο σημείο $\Delta$ της πλευράς του $B\Gamma$ και η διχοτόμος της γωνίας $\angle \Gamma A\Delta$ ( σημείο της $B\Gamma$ ). Ο περίκυκλος του τριγώνου $AB\Delta$ τέμνει την στο και η $\Delta Z$ τέμνει την $A\Gamma$ στο . Δείξτε ότι .

: 1.png (46.32 KiB) Προβλήθηκε 1133 φορές

Είναι $\angle ZBD\mathop = \limits^{A,Z,D,B\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha } \angle DAZ\mathop = \limits^{\upsilon \pi o\theta \varepsilon \sigma \eta } \angle ZAC\mathop \Rightarrow \limits^{BC = AC}$ $\vartriangle BZC = \vartriangle AZC \Rightarrow \boxed{\angle ZCE \equiv \angle ZCB = \angle ZCA \equiv \angle ZCH}:\left( 1 \right)$

Αλλά $\angle EZD\mathop = \limits^{A,Z,D,B\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha } \angle ABD = {60^0} = \angle ECH \Rightarrow C,H,Z,E$ ομοκυκλικά και από την $\left( 1 \right)\Rightarrow ZE=ZH$ (χορδές κύκλου ανιστοιχούσες σε ίσες εγγεγραμμένες του γωνίες) και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

Υ.Σ. Είναι σίγουρο ότι γράφω τα του Σωτήρη

. Καλησπέρα Σωτήρη!!

S.E.Louridas · #4

Γειά σου φίλε Στάθη.
Το θεώρημα σου έχει πράγματι τεράστιες εφαρμογές και για αυτό θα επιβληθεί επιστημονικά κόντρα στις .... ασήμαντες κόντρες.

#5

: Ισόπλευρο 10 Φάνης.png (32.2 KiB) Προβλήθηκε 1095 φορές

Επειδή προφανώς $\widehat \phi = \widehat \omega + \widehat \theta \Leftrightarrow ZA = ZB$ και αφού CA = CB

η

είναι

μεσοκάθετος στο

και το ζητούμενο φανερό .

Φανης Θεοφανιδης · #6

: 500.png (17.03 KiB) Προβλήθηκε 1094 φορές

Φέρνω την

και ονομάζω

το σημείο τομής της με την $A\Gamma$ .
Είναι $\angle ZB\Delta =\theta \Rightarrow \angle ABZ=60^{0}-\theta$ .
Αλλά και $\angle ZAB=60^{0}-\theta$ .
Οπότε ZB=ZA (1)

.
Από την προφανή ισότητα των τριγώνων $PB\Gamma , \Gamma AE$ έχω ότι
$BP=AE\Rightarrow ZP=ZE (2)$ (λόγω της (1)

).
Ακόμη είναι $\angle EZ\Delta =60^{0}$ (ως εξωτερική του $B\Delta ZA$ ) $\Rightarrow \angle AZH=60^{0}$ ,
$\angle \Gamma PZ=120^{0}-\theta$ (ως εξωτερική του τριγώνου ABP

) $\Rightarrow \angle ZPH=60^{0}+\theta (3)$ ,
$\angle PHZ=60^{0}+\theta (4)$ (ως εξωτερική του τριγώνου AZH

).
Από την (3)

και

έπεται ότι $ZP=ZH\Rightarrow ZE=ZH$ (λόγω της (2)

).

Ισόπλευρο τρίγωνο 10.

Ισόπλευρο τρίγωνο 10.

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο 10.

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο 10.

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο 10.

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο 10.

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο 10.

Μέλη σε σύνδεση