Ημικύκλιο 5.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 100.png (6.14 KiB) Προβλήθηκε 1009 φορές

Στο παραπάνω σχήμα δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου

και η εφαπτομένη του στο σημείο

.
Από σημείο

της εφαπτομένης αυτής φέρνω την άλλη εφαπτομένη του ημικυκλίου, με σημείο
επαφής το $\Gamma$ , η οποία τέμνει την προέκταση της

στο σημείο $\Delta$ .
Αν $P\Gamma =3A\Delta$ , δείξτε ότι $\angle APB=45^{0}$ .

Την άσκηση την αφιερώνω στον καλό μου φίλο Νίκο Φραγκάκη, του οποίου η προθυμία
να βοηθά τους άλλους, με συγκινεί ιδιαίτερα. Νίκο να σαι πάντα καλά.

#2

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:100.png

Στο παραπάνω σχήμα δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου και η εφαπτομένη του στο σημείο .
Από σημείο της εφαπτομένης αυτής φέρνω την άλλη εφαπτομένη του ημικυκλίου, με σημείο
επαφής το $\Gamma$ , η οποία τέμνει την προέκταση της στο σημείο $\Delta$ .
Αν $P\Gamma =3A\Delta$ , δείξτε ότι $\angle APB=45^{0}$ .

Την άσκηση την αφιερώνω στον καλό μου φίλο Νίκο Φραγκάκη, του οποίου η προθυμία
να βοηθά τους άλλους, με συγκινεί ιδιαίτερα. Νίκο να σαι πάντα καλά.

Γεια σου Φάνη!

: Ημικύκλιο 5.png (12.68 KiB) Προβλήθηκε 986 φορές

Έστω

το κέντρο του ημικυκλίου,

η ακτίνα του και AD=x, DC=y,

οπότε

Από την ομοιότητα των τριγώνων OCD, PBD

είναι: $\displaystyle{\frac{R}{{3x}} = \frac{{x + R}}{{3x + y}} = \frac{y}{{x + 2R}} \Rightarrow }$ $\boxed{y=\frac{3x^2}{R}}$ και $\boxed{y= \frac{R(x+2R)}{3x}}$

Καταλήγουμε λοιπόν στην εξίσωση: $\displaystyle{9{x^3} - {R^2}x - 2{R^3} = 0 \Leftrightarrow (3x - 2R)(3{x^2} + 2Rx + {R^2}) = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{x > 0} }$ $\boxed{x=\frac{2R}{3}}$ ,

απ' όπου AB=BP

και το ζητούμενο έπεται.

#3

: Ημικύκλιο 5.png (16.42 KiB) Προβλήθηκε 982 φορές

Θέτω $AD = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC = u$ , άρα PB = PC = 3x

.

Επειδή η διακεντρική ευθεία OP//AC

ως κάθετες στην

έχω :

$\dfrac{u}{{3x}} = \dfrac{x}{R} \Rightarrow \boxed{u = \dfrac{{3{x^2}}}{R}}$ . Αλλά ${u^2} = x(x + 2R)$ και λόγω της προηγουμένης

$9{x^3} - {R^2}x - 2{R^3} = 0 \Rightarrow \boxed{3x = 2R}$ και άρα το $\vartriangle ABP$ είναι ορθογώνιο (στο

) και

ισοσκελές .

Ευχαριστώ πολύ Φάνη .

Το αλγεβρικό μέρος μου ήταν γνωστό . Μετά την τοποθέτηση του Γιώργου , μια ακόμα .

Ημικύκλιο 5.

Ημικύκλιο 5.

Re: Ημικύκλιο 5.

Re: Ημικύκλιο 5.

Μέλη σε σύνδεση