Κι άλλο μέσο

KARKAR · #1

: Κι άλλο μέσο.png (11.16 KiB) Προβλήθηκε 854 φορές

Η μεσοκάθετη της ακτίνας

, ημικυκλίου διαμέτρου

τέμνει το τόξο στο σημείο

.

Η μεσοκάθετος της

, τέμνει το τόξο στο

. Η εφαπτομένη του ημικυκλίου στο

,

τέμνει την προέκταση της

στο

. Δείξτε ότι η

διχοτομεί το τμήμα

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 27, 2017 10:29 am
Κι άλλο μέσο.pngΗ μεσοκάθετη της ακτίνας , ημικυκλίου διαμέτρου τέμνει το τόξο στο σημείο .

Η μεσοκάθετος της , τέμνει το τόξο στο . Η εφαπτομένη του ημικυκλίου στο ,

τέμνει την προέκταση της στο . Δείξτε ότι η διχοτομεί το τμήμα .

: κι άλλο μέσο.png (42.16 KiB) Προβλήθηκε 840 φορές

Επειδή προφανώς το $\vartriangle APO$ είναι ισόπλευρο , θα είναι ισόπλευρα και τα $\vartriangle OPQ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OBQ$ το δε τετράπλευρο AOQP

( και όχι μόνο) είναι ρόμβος.

Αφού $OQ \bot SQ$ αναγκαστικά $\widehat {BQS} = 30^\circ$ που μας εξασφαλίζει την

διάμεσο προς υποτείνουσα στο $\vartriangle QOS$ .

Αυτό όμως μας εξασφαλίζει ότι το τετράπλευρο PBSQ

είναι παραλληλόγραμμο αφού PQ// = BS

.

Έτσι το

, σημείο τομής των $PS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,QB$ , θα είναι μέσο του

.

Αλλά από το $\vartriangle POS$ αφού τα L,B

μέσα δύο πλευρών του θα είναι LB//SP

.

Τώρα στο $\vartriangle OLB$ η KN//BL

και αφού το

μέσο του

θα είναι και το

μέσο του

.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 27, 2017 10:29 am
Κι άλλο μέσο.pngΗ μεσοκάθετη της ακτίνας , ημικυκλίου διαμέτρου τέμνει το τόξο στο σημείο .

Η μεσοκάθετος της , τέμνει το τόξο στο . Η εφαπτομένη του ημικυκλίου στο ,

τέμνει την προέκταση της στο . Δείξτε ότι η διχοτομεί το τμήμα .

: κι άλλο μέσο.png (16.28 KiB) Προβλήθηκε 839 φορές

Το

προφανώς είναι ισόπλευρο, το APQO

ρόμβος και το PQBA

ισοσκελές τραπέζιο, άρα

$\displaystyle QS = QA = R\sqrt 3 ,Q{S^2} = O{S^2} - {R^2} \Rightarrow$ $\boxed{OS=2R}$

$\displaystyle \frac{{QN}}{{NA}} = \frac{{PQ}}{{AS}} = \frac{R}{{3R}} \Leftrightarrow NA = 3QN,$ που αποδεικνύει το ζητούμενο , αφού LA=LQ.

#4

Το τετράπλευρο AOQP

είναι ρόμβος με γωνίες $60^\circ \,\,\kappa \alpha \iota \,\,120^\circ$ . Επειδή οι $SQ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BP$ είναι κάθετες στις παράλληλες $OQ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BP$ το τετράπλευρο

PBSQ

είναι παραλληλόγραμμο με συνέπεια $PQ = //BS \Rightarrow OB = BS = R$ .

Στο τρίγωνο OQP

το σημείο τομής

των $AQ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BP$ είναι βαρύκεντρο.

: κι άλλο μέσο_new1.png (45.78 KiB) Προβλήθηκε 813 φορές

Αν θέσω $LG = x\,,\,\,GN = y\,\,,\,\,NQ = w$ θα είναι $AG = 2GL \Rightarrow \boxed{w + y = 2x}\,\,(1)$ . Στο τρίγωνο POS

η ευθεία

τέμνει κατά σειρά τις $PO,\,\,PB\,\,,\,\,PS\,,\,\,PQ$

Και αφού η

διάμεσος και PQ//OS

, η τετράδα P(L,N,G,Q)

είναι αρμονική κι έτσι έχω : $\dfrac{{GL}}{{GN}} = \dfrac{{QL}}{{QN}} \Rightarrow \dfrac{x}{y} = \dfrac{{3x}}{w} \Rightarrow w = 3y$ ή λόγω της (1)

$w = 3(2x - w) \Rightarrow 4w = 6x \Rightarrow 2w = 3x$ δηλαδή 2QN = QL

που αποδεικνύει το ζητούμενο.

Κι άλλο μέσο

Κι άλλο μέσο

Re: Κι άλλο μέσο

Re: Κι άλλο μέσο

Re: Κι άλλο μέσο

Μέλη σε σύνδεση