ΤΟΜΗ ΔΕΣΜΗΣ ΑΠΟ ΚΥΚΛΟ.

#1

ΤΟΜΗ ΔΕΣΜΗΣ ΑΠΟ ΚΥΚΛΟ
Ανάλογο Θεώρημα Πάππου

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας.

Είναι γνωστό το Θεώρημα Πάππου, το οποίο αναφέρεται σε τομή επίπεδης κεντρικής δέσμης τεσσάρων ακτινών, από ευθεία.
Σύμφωνα με το Θεώρημα αυτό:
«Όταν επίπεδη κεντρική δέσμη τεσσάρων ευθειών τέμνεται από ευθεία, τότε ο διπλός λόγος των τεσσάρων σημείων τομής παραμένει σταθερός για κάθε θέση της τέμνουσας.

Ανατρέξαμε στη γνωστή μας μέχρι τώρα βιβλιογραφία και το διαδίκτυο και δε βρήκαμε ανάλογο Θεώρημα με αυτό, που να αναφέρει τι συμβαίνει στην περίπτωση κατά την οποία επίπεδη κεντρική δέσμη τεσσάρων ευθειών, τέμνεται και επανατέμνεται από κύκλο.
Μετά από έρευνα, προέκυψε ένα ανάλογο Θεώρημα με το παραπάνω Θεώρημα Πάππου, όπως και ένα άλλο σχετικό Θεώρημα για επίπεδη κεντρική δέσμη τριών ευθειών, τεμνόμενη από κύκλο.

Τα δύο παραπάνω νέα Θεωρήματα αποδείχθηκαν πολύτιμα για την απόδειξη άλλων σημαντικών γνωστών και αγνώστων μέχρι τώρα Γεωμετρικών προτάσεων, πολλές από τις οποίες αφορούν τα «Αρμονικά Πολύπλευρα», που αποτελούν ένα νέο τομέα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.
Κρίναμε σκόπιμο η ανάρτηση τούτων να γίνει στο mathematica, καθώς στο παρακάτω Θεώρημα 1, έχει βασισθεί και η δεύτερη λύση του Προβλήματος Εικοσαετίας, της «Αρμονικής Γεωμετρίας», εδώ (ποστ 596) link:
viewtopic.php?f=112&t=20919&start=580

Παρακάτω δίνουμε το πρώτο από τα παραπάνω Θεωρήματα:

Θεώρημα 1. (Τομή δέσμης τεσσάρων ακτινών από κύκλο).

«Ο διπλός λόγος, της τετράδας των σημείων κάθε τομής, μιας επίπεδης κεντρικής δέσμης τεσσάρων ευθειών από κύκλο, είναι ίσος με το διπλό λόγο της τετράδας των αντίστοιχων σημείων στα οποία η δέσμη αυτή επανατέμνεται από τoν ίδιο κύκλο, και αντίστροφα, που τότε αν οι παραπάνω διπλοί λόγοι είναι ίσοι και οι τρεις ευθείες συντρέχουν, τότε και η τέταρτη ευθεία συντρέχει στο ίδιο σημείο».

Παρακαλούμε για τις δικές σας αποδείξεις και τα σχετικά σχόλιά σας. Δική μου απόδειξη με σχετικά σχήματα θα δοθούν σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής
http://www.mathematica.gr/Harmonic_Geom ... riazis.pdf

min## · #2

Είναι μου φαίνεται λίγο-πολύ γνωστή ιδιότητα που συναντά κανείς σε βιβλία Προβολικής Γεωμετρίας (υπό τη Γεωμετρική σκοπιά) όπως του Coxeter, του Faulkner και λοιπά. Είμαι δε σίγουρος ότι εμφανίζεται και σε αρκετά προγενέστερα βιβλία, αλλά αφήνω σε κανέναν άλλο την επιβεβαίωση.
Ουσιαστικά πρόκειται για τον μετασχηματισμό της ενέλιξης σε κωνικη (=involution on a conic) και το κατά πόσο αυτός είναι προβολικότητα/διατηρεί το διπλό λόγο, πράγμα που βεβαίως είναι γνωστό ότι ισχύει.

Μια (γνωστή απόδειξη) στηρίζεται στο ότι το κέντρο της δέσμης έχει σταθερή πολική που λειτουργεί ως "homography axis" της προβολικότητας προς απόδειξη.
Δεν επεκτείνομαι περαιτέρω, γιατί τα θεωρώ κάπως γνωστά τα επιχειρήματα

#3

Έχω τρεις τρόπους απόδειξης αλλά για την ώρα γραφω τον έναν. Αν χρειαστεί, που δεν θα χρειαστεί γιατί το θέμα είναι απλό, επανέρχομαι.

Από τα όμοια τρίγωνα OAB, OA'B'

(διότι

κοινή και $\widehat {OBA}= \widehat {OA'B'}$ από το εγγράψιμο ABB'A'

) έχουμε

$\displaystyle{ AB = A'B' \cdot \dfrac {OA}{OB'} }$ .

Όμοια αλλά από τα τρίγωνα OBC, OB'C'

έχουμε

$\displaystyle{ BC = B'C' \cdot \dfrac {OC}{OB'} }$ .

Διαιρώντας κατά μέλη έχουμε

$\displaystyle{ \dfrac {AB}{BC} = \dfrac {A'B'}{B'C'} \cdot \dfrac {OA}{OC} }$ .

Όμοια

$\displaystyle{ \dfrac {CD}{DA} = \dfrac {C'D'}{D'A'} \cdot \dfrac {OC}{OA} }$ .

Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη, έπεται το ζητούμενο.

Υπόψη ότι η ίδια απόδειξη κάνει και στην περίπτωση που το

είναι στο εσωτερικό του κύκλου.

Επίσης το θέμα γενικεύεται αν αντί για κύκλο είχαμε Κωνική τομή. Άλλωστε η περίπτωση του αρχικού θεωρήματος Πάππου είναι η εκφυλισμένη περίπτωση κωνικής (δύο τεμνόμενες ευθείες).
.

#4

Βρίσκεται και στο εξαιρετικό βιβλίο "What is Mathematics?" των Courant και Robins (και σε πολλά άλλα).

#5

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας.

Καταρχήν, για τη συμμετοχή εδώ, ευχαριστώ πολύ τους φίλους:
--- min## και silouan και για τις πληροφορίες τους.
--- Mihalis_Lambrou και για την απόδειξή του (Μόνο ευθύ).

Όπως έχω υποσχεθεί, με το παρακάτω συνημμένο μου 307, δίνω τη δική μου λύση του Θεωρήματος 1.

Παρακαλώ για τα σχετικά σχόλιά σας.

Νίκος Κυριαζής.
http://www.mathematica.gr/Harmonic_Geom ... riazis.pdf

Συνημένο 307..doc: (112 KiB) Μεταφορτώθηκε 35 φορές

#6

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας.
Όπως έχω υποσχεθεί, με το παρακάτω συνημμένο μου 308, δίνω την εκφώνηση του Θεωρήματος 2.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και τα σχετικά σχόλιά σας.
Δική μου απόδειξη με σχετικά σχήματα και σχόλια θα δοθούν σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
http://www.mathematica.gr/Harmonic_Geom ... riazis.pdf

Συνημμένο 308.doc: (33 KiB) Μεταφορτώθηκε 32 φορές

#7

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας.
Όπως έχω υποσχεθεί, με το παρακάτω συνημμένο μου 308, δίνω τη δική μου απόδειξη και τα σχόλιά μου, για το Θεωρήματος 2.
Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και τα σχετικά σχόλιά σας.

Νίκος Κυριαζής.
http://www.mathematica.gr/Harmonic_Geom ... riazis.pdf

Συνημμένο 308.doc: (99.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 30 φορές

#8

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας.

Με το παρακάτω συνημένο μου 308 αναρτώ συνολικά εδώ και τα δύο Θεωρήματά:
α. Θεώρημα 1. Τομή δέσμης τεσσάρων ευθειών από κύκλο,
β. Θεώρημα 2. Τομή δέσμης τριών ευθειών από κύκλο,
με τις αποδείξεις τους, τα σχετικά μου σχόλιά και τη σχετική βιβλιογραφία.

Τούτο έκρινα σκόπιμο, για να υπάρχουν όλα μαζεμένα και όχι σκόρπια εδώ και εκεί τα δύο παραπάνω Θεωρήματα.

Παρακαλώ για τα σχετικά σχόλιά σας.

Νίκος Κυριαζής.
http://www.mathematica.gr/Harmonic_Geom ... riazis.pdf

Συνημμένο 308.doc: (198 KiB) Μεταφορτώθηκε 25 φορές

ΤΟΜΗ ΔΕΣΜΗΣ ΑΠΟ ΚΥΚΛΟ.

ΤΟΜΗ ΔΕΣΜΗΣ ΑΠΟ ΚΥΚΛΟ.

Re: ΤΟΜΗ ΔΕΣΜΗΣ ΑΠΟ ΚΥΚΛΟ.

Re: ΤΟΜΗ ΔΕΣΜΗΣ ΑΠΟ ΚΥΚΛΟ.

Re: ΤΟΜΗ ΔΕΣΜΗΣ ΑΠΟ ΚΥΚΛΟ.

Re: ΤΟΜΗ ΔΕΣΜΗΣ ΑΠΟ ΚΥΚΛΟ.

Re: ΤΟΜΗ ΔΕΣΜΗΣ ΑΠΟ ΚΥΚΛΟ.

Re: ΤΟΜΗ ΔΕΣΜΗΣ ΑΠΟ ΚΥΚΛΟ.

Re: ΤΟΜΗ ΔΕΣΜΗΣ ΑΠΟ ΚΥΚΛΟ.

Μέλη σε σύνδεση