Ανισότητα από Περσία

#1

: Ανισότητα απ' την Περσία.png (15.96 KiB) Προβλήθηκε 702 φορές

Δύο σημεία X, Y

βρίσκονται στο τόξο $\overset\frown{BC}$ (που δεν ανήκει το

) του περίκυκλου τριγώνου ABC,

έτσι

ώστε $B\widehat AX=C\widehat AY.$ Αν

είναι το μέσο της χορδής

να δείξετε ότι BM+CM>AY.

Ορέστης Λιγνός · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 18, 2022 1:48 pm

Ανισότητα απ' την Περσία.png
Δύο σημεία βρίσκονται στο τόξο $\overset\frown{BC}$ (που δεν ανήκει το ) του περίκυκλου τριγώνου έτσι

ώστε $B\widehat AX=C\widehat AY.$ Αν είναι το μέσο της χορδής να δείξετε ότι

Έστω ότι η παράλληλη από το

στην

τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του ABC

στο

. Τότε, είναι

$\angle AYK=\angle AXK=\angle BAX=\angle CAY,$

άρα $AC \parallel YK$ , οπότε το ACYK

είναι ισοσκελές τραπέζιο, άρα AY=CK

.

Αφού

το μέσον της

, είναι λόγω συμμετρίας BM=MK

. Άρα, από την τριγωνική ανισότητα,

BM+MC=MK+MC>CK=AY,

όπως θέλαμε.

Ανισότητα από Περσία

Ανισότητα από Περσία

Re: Ανισότητα από Περσία

Μέλη σε σύνδεση