Άθροισμα ψηφίων πολλαπλάσιο του 11

[Demetres]

Να δειχθεί ότι ανάμεσα σε διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς υπάρχει ένας ώστε το άθροισμα των ψηφίων του να διαιρείται με το 11.

Πηγή: Σοβιετική Ένωση 1961

[ealexiou]

Γράφοντας διαδοχικούς αριθμούς και διερευνώντας το θέμα διαπιστώνουμε ότι πράγματι υπάρχει ένας πού το άθροισμα των ψηφίων διαιρείται με το
Για να το πετύχουμε αυτό αρκεί να βρούμε αριθμούς από τους που το άθροισμα των ψηφίων των αριθμών αυτών να είναι διαδοχικοί αριθμοί, οπότε ένα από αυτά τα αθροίσματα θα διαιρείται οπωσδήποτε με το το .
Στους αριθμούς υπάρχουν σίγουρα που το τελευταίο ψηφίο είναι και αυτό έχει σημασία καθώς πρέπει να ξεκινήσουμε με αριθμό με τελευταίο ψηφίο και μάλιστα από με έναν από τους δύο πρώτους που λήγουν σε .
Στους πρώτους αριθμούς υπάρχουν δύο που το τελευταίο ψηφίο είναι . Δεν πρέπει όμως το προηγούμενο, προτελευταίο ψηφίο να είναι , () διότι επιλέγοντας τους επόμενους αριθμούς, όπως θα γράψω παρακάτω, έχουμε αλλαγή του ψηφίου των εκατοντάδων και δεν πετυχαίνουμε διαδοχικά αθροίσματα ψηφίων, όμως στους πρώτους αριθμούς αν έχουμε αριθμό θα υπάρχει αριθμός ή αριθμός
Από τους δύο αριθμούς- που βρίσκονται ανάμεσα στους πρώτους αριθμούς - που λήγουν σε επιλέγουμε αριθμό της μορφής , όπου και έστω ο αριθμός αυτός με άθροισμα ψηφίων έστω . Επιλέγουμε τους αριθμούς: οι οποίοι έχουν άθροισμα ψηφίων , έντεκα διαδοχικοί αριθμοί, όπως θέλαμε, άρα ο ένας από αυτούς διαιρείται με το

Π.χ (με την δυσμενή περίπτωση του )

Επιλέγουμε , σύμφωνα με τα παραπάνω,τους αριθμούς:
και πράγματι o έχει άθροισμα ψηφίων

edit: Έγιναν οι απαραίτητες μικροβελτιώσεις που δεν ξέφυγαν από το ...άγρυπνο μάτι του Μιχάλη

[Μπάμπης Στεργίου]

Να δειχθεί ότι ανάμεσα σε διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς υπάρχει ένας ώστε το άθροισμα των ψηφίων του να διαιρείται με το 11.

Πηγή: Σοβιετική Ένωση 1961

Είναι κρίμα που δεν τα βρήκαν ΗΠΑ και Ρωσία για την πλήρη έκδοση του αριστουργήματος των Galperin-Tolpygo , όπου βρίσκεται και η λύση της ωραίας αυτής δημιουργίας.

Τα σχήματα μόνο λείπουν και δεν ξέρω αν θα αναλάβει καμιά φορά κάποιος να τα φτιάξει και το βιβλίο να βγει στην αγορά.

Μπάμπης

[Mihalis_Lambrou]

Είναι κρίμα που δεν τα βρήκαν ΗΠΑ και Ρωσία για την πλήρη έκδοση του αριστουργήματος των Galperin-Tolpygo , όπου βρίσκεται και η λύση της ωραίας αυτής δημιουργίας.

Μπάμπη, ευτυχώς υπάρχει το Ν. Βασίλιεφ, Α. Γεγκόροφ, Πανενωσιακές Μαθηματικές Ολυμπιάδες της Ε.Σ.Σ.Δ. Έχει εκδοθεί και στα ελληνικά, εκδόσεις Κάτοπτρο, σε μετάφραση Χρήστου Λάμπρου (συνωνυμία μόνο) και εξαιρετική επιστημονική επιμέλεια από τους Γιώργο Ευαγγελόπουλο και Αντώνη Μελά (δύο par excelance λύτες προβλημάτων).

Η λύση του παραπάνω προβλήματος στο βιβλίο είναι ίδια με την δοθείσα (αλλά χωρίς τα κάποια λαθάκια της δοθείσας).

Μ.

[Mihalis_Lambrou]

Να δειχθεί ότι ανάμεσα σε διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς υπάρχει ένας ώστε το άθροισμα των ψηφίων του να διαιρείται με το 11.

Πηγή: Σοβιετική Ένωση 1961

Ας το βελτιώσουμε:

Δείξτε ότι ανάμεσα σε διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς υπάρχει ένας του οποίου το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το . Επίσης δείξτε ότι δεν ισχύει κατ' ανάγκη το αποτέλεσμα αν οι διαδοχικοί αριθμοί ήσαν .

Φιλικά,

Μιχάλης

[Demetres]

Να δειχθεί ότι ανάμεσα σε διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς υπάρχει ένας ώστε το άθροισμα των ψηφίων του να διαιρείται με το 11.

Πηγή: Σοβιετική Ένωση 1961

Ας το βελτιώσουμε:

Δείξτε ότι ανάμεσα σε διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς υπάρχει ένας του οποίου το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το . Επίσης δείξτε ότι δεν ισχύει κατ' ανάγκη το αποτέλεσμα αν οι διαδοχικοί αριθμοί ήσαν .

Φιλικά,

Μιχάλης

Μιχάλη, αυτό δεν ισχύει. Οι είναι αριθμοί όπου το άθροισμα των ψηφίων του καθενός ξεχωριστά δεν διαιρείται με το . Τα αθροίσματα των ψηφίων τους είναι

[ealexiou]

Να δειχθεί ότι ανάμεσα σε διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς υπάρχει ένας ώστε το άθροισμα των ψηφίων του να διαιρείται με το 11.

Πηγή: Σοβιετική Ένωση 1961

Ας το βελτιώσουμε:

Δείξτε ότι ανάμεσα σε διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς υπάρχει ένας του οποίου το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το . Επίσης δείξτε ότι δεν ισχύει κατ' ανάγκη το αποτέλεσμα αν οι διαδοχικοί αριθμοί ήσαν .

Φιλικά,

Μιχάλης

Μιχάλη, αυτό δεν ισχύει. Οι είναι αριθμοί όπου το άθροισμα των ψηφίων του καθενός ξεχωριστά δεν διαιρείται με το . Τα αθροίσματα των ψηφίων τους είναι

Για να ισχύει αυτό που έγραψε ο Μιχάλης πρέπει και οι αριθμοί να έχουν τον ίδιο αριθμό ψηφίων.

[Mihalis_Lambrou]

Μιχάλη, αυτό δεν ισχύει. Οι είναι αριθμοί όπου το άθροισμα των ψηφίων του καθενός ξεχωριστά δεν διαιρείται με το . Τα αθροίσματα των ψηφίων τους είναι

Για να ισχύει αυτό που έγραψε ο Μιχάλης πρέπει και οι αριθμοί να έχουν τον ίδιο αριθμό ψηφίων.

Έχετε δίκιο και οι δύο. Πράγματι, στην απόδειξή μου του ισχυρότερου, έμεινα εκ παραδρομής σε αριθμούς με ίδιο πλήθος ψηφίων.

Οπότε διορθώνω (ελπίζω)

Δείξτε ότι ανάμεσα σε διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς με ίδιο πλήθος ψηφίων, υπάρχει ένας του οποίου το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 11. Επίσης δείξτε ότι δεν ισχύει κατ' ανάγκη το αποτέλεσμα αν οι διαδοχικοί αριθμοί ήσαν 28.

Ευχαριστώ τους προλαλήσαντες.

Μ.

[Demetres]

Δείξτε ότι ανάμεσα σε διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς με ίδιο πλήθος ψηφίων, υπάρχει ένας του οποίου το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 11. Επίσης δείξτε ότι δεν ισχύει κατ' ανάγκη το αποτέλεσμα αν οι διαδοχικοί αριθμοί ήσαν 28.

Ευχαριστώ τους προλαλήσαντες.

Μ.

Παρόμοιο σκεπτικό με την λύση της προηγούμενης άσκησης.

Έστω ο πρώτος από αυτούς που λήγει σε και έστω το άθροισμα των ψηφίων του. Ο είναι το πολύ ο δέκατος από αυτούς τους αριθμούς. Άρα οι ανήκουν στο σύνολο των δοθέντων αριθμών.

Έχουμε ότι οι έχουν άθροισμα ψηφίων . (Για το γεγονός ότι ο έχει άθροισμα ψηφίων χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι έχει τον ίδιο αριθμό ψηφίων με τον .)

Άρα τουλάχιστον ένας από τους έχει άθροισμα ψηφίων πολλαπλάσιο του .

Αν μας δώσουν 28 διαδοχικούς αριθμούς τότε δεν ισχύει απαραίτητα αυτό. Π.χ. αν μας δοθούν οι

[Mihalis_Lambrou]

Γράφω άλλο τρόπο με γνώμονα να είναι κατανοητός σε παιδιά Δημοτικού. Γράφουμε σε πίνακα μόντουλο το άθροισμα των ψηφίων των αριθμών έως . Δεν είναι τόσο επίπονο όσο φαίνεται γιατί έχουμε ένα είδος περιοδικότητας εκτός από κάποια κομβικά σημεία.

Ο πίνακας ανά δεκάδες είναι












Παρατηρούμε ότι τα περισσότερα νούμερα εμφανίζονται "πάντα" σε διαδοχικές γραμμές. Εξαιρούνται
ορισμένα, περιστασιακά, που βρίσκονται σε κάποια γραμμή και την μεθεπόμενη αντί την επόμενη γραμμή. Οι
δύο κόκκινοι αριθμοί που σημείωσα είναι τέτοια περίπτωση. Το μέγιστο που απέχουν οι αριθμοί είναι
θέσεις και, παράλληλα, μεταξύ δύο τέτοιων "μακρινών" αριθμών, όλοι οι υπόλοιποι βρίσκονται στο μεσοδιάστημα. Ισχύει
το ίδιο και αν πάμε κυκλικά, στο τέλος, πίσω στην αρχική δεκάδα. Ο έλεγχος γίνεται με το μάτι, αλλά δεν είναι
τόσο κουραστικό λόγω της μερικής περιοδικότητας.

Συμπέρασμα: Κάθε αριθμούς έχουμε όλα τα υπόλοιπα.

Φιλικά,

Μιχάλης