Ρουμάνικη

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Απάντηση
harrisp
Δημοσιεύσεις: 546
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Ρουμάνικη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Τετ Μαρ 08, 2017 5:17 pm

Να βρείτε τους ακεραίους x,y ωστε:

x^6+3x^3+1=y^4


Λέξεις Κλειδιά:
διοφαντική
Κορυφή
Friedoon
Δημοσιεύσεις: 61
Εγγραφή: Δευ Οκτ 24, 2016 6:39 pm
Τοποθεσία: Γλυφάδα

Re: Ρουμάνικη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Friedoon » Τετ Μαρ 08, 2017 5:43 pm

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Να βρείτε τους ακεραίους x,y ωστε:

x^6+3x^3+1=y^4
Αν x>0 έχουμε (x^3+1)^2<x^6+3x^3+1<(x^3+2)^2 άρα η εξίσωση δεν έχει λύσεις .
Αν x=-1 τότε έχουμε y^4=-1 που είναι αδύνατο.
Αν x<-1 έχουμε (x^3+1)^2>x^6+3x^3+1>(x^3+2)^2 άρα η εξίσωση δεν έχει λύσεις .
Αν x=0 η εξίσωση γίνεται y^4=1 \Rightarrow y=1 \vee y=-1
Άρα μοναδικές λύσεις είναι οι (0,1) και (0,-1).


Ανδρέας Χαραλαμπόπουλος
Κορυφή
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1417
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Ρουμάνικη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τετ Μαρ 08, 2017 6:27 pm

Εναλλακτικά, από την εξίσωση (x^3)^2 + 3x^3 + 1 - y^4 = 0 βλέπουμε ότι η διακρίνουσα 9 - 4(1 - y^4) = (2y^2)^2 + 5 πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο, από όπου συνάγεται y^2 = 1 \implies x = 0.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης