Από Βουλγαρία

harrisp · #1

Να βρείτε ολες τις τριαδες θετικών ακεραίων (x,y,z)

ώστε:

Ορέστης Λιγνός · #2

Καλησπέρα Χάρη!

Πρέπει $3^z \equiv 4(\bmod 5)$ , άρα $z \equiv 2(\bmod 4)$ , οπότε

άρτιος, έστω z=2k

, $k \in \mathbb{N^*}$ .

Έτσι, $\displaystyle 5^x \cdot 7^y+4=(3^k)^2 \Leftrightarrow (3^k-2)(3^k+2)=5^x \cdot 7^y$ .

Πρέπει λοιπόν $\begin{cases} 3^k-2=5^a \cdot 7^b \\ 3^k+2=5^c \cdot 7^d \end{cases}, a,b,c,d \in \mathbb{N}$ .

Αν $a,c \neq 0$ , τότε 5/3^k-2

και $5/3^k+2 \Leftrightarrow 5/4$ , άτοπο.

Αν c=0

, τότε $3^k+2=7^d \equiv 1(\bmod 3) \Leftrightarrow 3^k \equiv -1 (\bmod 3)$ , άτοπο.

Άρα, a=0

.

Με παρόμοια λογική πρέπει b=0

ή

.

Αν

, πρέπει $3^k-2=1 \Leftrightarrow k=1, z=2$ .

Έτσι, $5^x \cdot 7^y +4=9 \Leftrightarrow 5^x \cdot 7^y=5 \Leftrightarrow x=1, \, y=0$ , άτοπο, αφού $y \in \mathbb{N^*}$ .

Άρα, d=0

και το σύστημα γίνεται

$\begin{cases} 3^k-2=7^b \\ 3^k+2=5^c \end{cases}$ .

Με αφαίρεση κατά μέλη 5^c-7^b=4

.

Προφανώς, $c \neq 0$ .

Αν c=1

,

, που είναι άτοπο από την προηγούμενη περίπτωση.

Άρα, $c \geq 2$ .

Οπότε, $5^c \equiv 0(\bmod 25) \Leftrightarrow 7^b \equiv -4(\bmod 25)$ .

Έχουμε $b=4\ell + m$ , $m \in (0,1,2,3)$ .

Άρα, $7^b= 7^{4\ell +m}=(7^4)^{\ell} \cdot 7^m \equiv 7^m (\bmod 25) \Leftrightarrow 7^m \equiv -4(\bmod 25)$ , $m \in (0,1,2,3)$ , άτοπο.

Ώστε, η αρχική εξίσωση είναι αδύνατη.

harrisp · #3

Ορέστης Λιγνός έγραψε:Καλησπέρα Χάρη!

Πρέπει $3^z \equiv 4(\bmod 5)$ , άρα $z \equiv 2(\bmod 4)$ , οπότε άρτιος, έστω , $k \in \mathbb{N^*}$ .

Έτσι, $\displaystyle 5^x \cdot 7^y+4=(3^k)^2 \Leftrightarrow (3^k-2)(3^k+2)=5^x \cdot 7^y$ .

Πρέπει λοιπόν $\begin{cases} 3^k-2=5^a \cdot 7^b \\ 3^k+2=5^c \cdot 7^d \end{cases}, a,b,c,d \in \mathbb{N}$ .

Αν $a,c \neq 0$ , τότε και $7/3^k+2 \Leftrightarrow 7/4$ , άτοπο.

Αν , τότε $3^k+2=7^d \equiv 1(\bmod 3) \Leftrightarrow 3^k \equiv -1 (\bmod 3)$ , άτοπο.

Άρα, .

Με παρόμοια λογική πρέπει ή .

Αν , πρέπει $3^k-2=1 \Leftrightarrow k=1, z=2$ .

Έτσι, $5^x \cdot 7^y +4=9 \Leftrightarrow 5^x \cdot 7^y=5 \Leftrightarrow x=1, \, y=0$ , άτοπο, αφού $y \in \mathbb{N^*}$ .

Άρα, και το σύστημα γίνεται

$\begin{cases} 3^k-2=7^b \\ 3^k+2=5^c \end{cases}$ .

Με αφαίρεση κατά μέλη .

Προφανώς, $c \neq 0$ .

Αν , , που είναι άτοπο από την προηγούμενη περίπτωση.

Άρα, $c \geq 2$ .

Οπότε, $5^c \equiv 0(\bmod 25) \Leftrightarrow 7^b \equiv -4(\bmod 25)$ .

Έχουμε $b=4\ell + m$ , $m \in (0,1,2,3)$ .

Άρα, $7^b= 7^{4\ell +m}=(7^4)^{\ell} \cdot 7^m \equiv 7^m (\bmod 25) \Leftrightarrow 7^m \equiv -4(\bmod 25)$ , $m \in (0,1,2,3)$ , άτοπο.

Ώστε, η αρχική εξίσωση είναι αδύνατη

Πανέμορφα

Από Βουλγαρία

Από Βουλγαρία

Re: Από Βουλγαρία

Re: Από Βουλγαρία

Μέλη σε σύνδεση