Διοφαντική εξίσωση
Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Διοφαντική εξίσωση
Αν κάποιο από τα ήταν αρνητικό, θα ήταν και τα υπόλοιπα αρνητικά.
Άρα θα έπρεπε να λύσουμε την εξίσωση , άτοπο, καθώς το δεν διαιρεί το .
Άρα τα είναι μη αρνητικά.
Αν η εξίσωση γίνεται: , η οποία δεν έχει λύσεις στους μη αρνητικούς ακεραίους (ένας τρόπος για να το αποδείξουμε αυτό είναι να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα ).
Αν όμοια αποδεικνύουμε πως η εξίσωση δεν έχει λύσεις στους μη αρνητικούς ακεραίους.
Αν πρέπει , η οποία προφανώς δεν έχει λύσεις στους μη αρνητικούς ακεραίους.
Άρα τα είναι θετικοί ακέραιοι
Παίρνοντας , έχουμε πως , επομένως το είναι άρτιο, έστω .
Η εξίσωση τώρα γίνεται .
Αν η εξίσωση γίνεται , που έχει την λύση (Δεν έχω αποδείξει πως δεν έχει άλλες λύσεις, αλλά είμαι σίγουρος για αυτό).
Άρα μια λύση της εξίσωσης είναι .
Αν , τότε έχουμε πως
Αν περιττό, τότε
Όμως ή , άτοπο.
Άρα είναι άρτιος (έστω ) και άρα , άρα και άρτιος (έστω ) .
Επομένως πρέπει . Όμως αφού το είναι πρώτος της μορφής και και είναι τετράγωνα, έχουμε από γνωστό θεώρημα πως πρέπει και , άτοπο.
Συγκεκριμένα το θεώρημα λέει πως αν και πρώτος με , τότε και .
Μοναδική λύση της εξίσωσης λοιπόν είναι η
Άρα θα έπρεπε να λύσουμε την εξίσωση , άτοπο, καθώς το δεν διαιρεί το .
Άρα τα είναι μη αρνητικά.
Αν η εξίσωση γίνεται: , η οποία δεν έχει λύσεις στους μη αρνητικούς ακεραίους (ένας τρόπος για να το αποδείξουμε αυτό είναι να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα ).
Αν όμοια αποδεικνύουμε πως η εξίσωση δεν έχει λύσεις στους μη αρνητικούς ακεραίους.
Αν πρέπει , η οποία προφανώς δεν έχει λύσεις στους μη αρνητικούς ακεραίους.
Άρα τα είναι θετικοί ακέραιοι
Παίρνοντας , έχουμε πως , επομένως το είναι άρτιο, έστω .
Η εξίσωση τώρα γίνεται .
Αν η εξίσωση γίνεται , που έχει την λύση (Δεν έχω αποδείξει πως δεν έχει άλλες λύσεις, αλλά είμαι σίγουρος για αυτό).
Άρα μια λύση της εξίσωσης είναι .
Αν , τότε έχουμε πως
Αν περιττό, τότε
Όμως ή , άτοπο.
Άρα είναι άρτιος (έστω ) και άρα , άρα και άρτιος (έστω ) .
Επομένως πρέπει . Όμως αφού το είναι πρώτος της μορφής και και είναι τετράγωνα, έχουμε από γνωστό θεώρημα πως πρέπει και , άτοπο.
Συγκεκριμένα το θεώρημα λέει πως αν και πρώτος με , τότε και .
Μοναδική λύση της εξίσωσης λοιπόν είναι η
Houston, we have a problem!
Re: Διοφαντική εξίσωση
Θα αποδείξω ότι δεν έχει άλλη λύση στους θετικούς ακέραιους πέρα από την .
Με παίρνουμε ότι τα είναι περιττοί.Άρα η δοθείσα γίνεται .
Με παίρνουμε ότι το οποίο αληθεύει μόνο για ,δηλαδή .
Με (για
και βλέποντας τα μοτίβα στο αριστερό μέλος () αληθεύει η ισότητα μόνο για , δηλαδή (σύμφωνα και με τα παραπάνω).
Με , .Όμως, βλέποντας τα μοτίβα στο αριστερό μέλος,(
) και άρα πρέπει
κάτι που ποτέ δε συμβαίνει.Άρα πρέπει ..Παρεμπιπτόντως πως μπορώ να ξεκολλάω τα mod στο eqeditor?
Με παίρνουμε ότι τα είναι περιττοί.Άρα η δοθείσα γίνεται .
Με παίρνουμε ότι το οποίο αληθεύει μόνο για ,δηλαδή .
Με (για
και βλέποντας τα μοτίβα στο αριστερό μέλος () αληθεύει η ισότητα μόνο για , δηλαδή (σύμφωνα και με τα παραπάνω).
Με , .Όμως, βλέποντας τα μοτίβα στο αριστερό μέλος,(
) και άρα πρέπει
κάτι που ποτέ δε συμβαίνει.Άρα πρέπει ..Παρεμπιπτόντως πως μπορώ να ξεκολλάω τα mod στο eqeditor?
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Διοφαντική εξίσωση
Με την εντολή \pmod. Π.χ.min## έγραψε:...Παρεμπιπτόντως πώς μπορώ να ξεκολλάω τα mod στο eqeditor;
Θανάσης Κοντογεώργης
Re: Διοφαντική εξίσωση
Ευχαριστώ.socrates έγραψε:Με την εντολή \pmod. Π.χ.min## έγραψε:...Παρεμπιπτόντως πώς μπορώ να ξεκολλάω τα mod στο eqeditor;
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες