Τέλειο τετράγωνο

M.S.Vovos · #1

Να αποδείξετε ότι για κάθε $k\in \mathbb{Z}^{*}$ ο αριθμός $\displaystyle{2017k^{2}-120}$ δεν είναι τέλειο τετράγωνο.

Φιλικά,
Μάριος

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Μια λύση εκτός φακέλου:

Στην πραγματικότητα θα αποδείξουμε πως η εξίσωση:

$m^2\equiv -120 \pmod{2017}\Leftrightarrow m^2\equiv 1897 \pmod{2017}$ δεν έχει λύσεις στους θετικούς ακεραίους.

Θα χρησιμοποιήσουμε τετραγωνικά κατάλοιπα με τον συμβολισμό Legendre

. Για να μην είναι το 1897

τετραγωνικό κατάλοιπο $\pmod{2017}$ , πρέπει:

$(\dfrac{1897}{2017})=-1\Leftrightarrow (\dfrac{7}{2017})(\dfrac{271}{2017})=-1$

Λόγω του ότι οι αριθμοί

και

είναι πρώτοι έχουμε από τον νόμο τετραγωνικής αντιστροφής πως:

$(\dfrac{7}{2017})(\dfrac{2017}{7})=(-1)^{\dfrac{7-1}{2}\cdot \dfrac{2017-1}{2}}=1\Leftrightarrow (\dfrac{7}{2017})=(\dfrac{2017}{7})$ .

Όμοια αποδεικνύουμε πως:

$(\dfrac{271}{2017})=(\dfrac{2017}{271})$

Άρα αρκεί $(\dfrac{2017}{7})(\dfrac{2017}{271})=-1\Leftrightarrow (\dfrac{1}{7})(\dfrac{120}{271})=-1\Leftrightarrow$ \displaystyle{(\dfrac{120}{271})=-1\Leftrightarrow (\dfrac{-151}{271})=-1\Leftrightarrow} $(\dfrac{-1}{271})(\dfrac{151}{271})=-1$

Όμως αφού $271\equiv 3 \pmod{4}$ , είναι γνωστό πως $(\dfrac{-1}{271})=-1$ .

Επομένως αρκεί:

$(\dfrac{151}{271})=1$

Χρησιμοποιώντας πάλι τον νόμο τετραγωνικής αντιστροφής έχουμε ότι:

$(\dfrac{151}{271})=-(\dfrac{271}{151})$

Αρκεί λοιπόν:

$(\dfrac{271}{151})=-1\Leftrightarrow (\dfrac{120}{151})=-1\Leftrightarrow (\dfrac{31}{151})=1\Leftrightarrow (\dfrac{151}{31})=-1\Leftrightarrow$ $(\dfrac{27}{31})=-1\Leftrightarrow (\dfrac{3}{31})=-1\Leftrightarrow$ $(\dfrac{31}{3})=1\Leftrightarrow (\dfrac{1}{3})=1$ που ισχύει.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

M.S.Vovos έγραψε:
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Με επιφύλαξη για το φάκελο...
Να αποδείξετε ότι για κάθε $k\in \mathbb{Z}^{*}$ ο αριθμός $\displaystyle{2017k^{2}-120}$ δεν είναι τέλειο τετράγωνο.

Φιλικά,
Μάριος

Εστω ότι είναι $2017k^{2}=120+n^{2}$ (1)

Γράφουμε k=5t+r,n=5f+w

όπου $r,w\in \left \{ 0,1,-1,2,-2 \right \}$

Αντικαθιστώντας παίρνουμε ότι $2r^{2}=w^{2}+5l,l\in \mathbb{Z}$

Αυτό μπορεί να συμβεί μόνο αν r=w=0

Τότε όμως αν αντικαταστήσουμε στην (1) βγαίνει ότι 25/120

ΑΤΟΠΟ.
Βλέπω ότι έχει απαντήσει και ο Διονύσης με διαφορετική λύση.
Προσπάθησα να κάνω την λύση όσο πιο στοιχειώδη γίνεται.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #4

Δεν φανταζόμουν πως είχε τόσο απλή λύση!

Εγώ στην πραγματικότητα απέδειξα κάτι πιο ισχυρό από το ζητούμενο, δεν έλαβα υπόψιν μου το τέλειο τετράγωνο k^2

, δηλαδή ότι το 2017l-120

δεν είναι τέλειο τετράγωνο...

Τέλειο τετράγωνο

Τέλειο τετράγωνο

Re: Τέλειο τετράγωνο

Re: Τέλειο τετράγωνο

Re: Τέλειο τετράγωνο

Μέλη σε σύνδεση