Πρόβλημα με πίνακα
Συντονιστές: Demetres, socrates, silouan
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Πρόβλημα με πίνακα
Σε κάθε κελί ενός πίνακα γράφουμε έναν από τους αριθμούς έτσι ώστε το άθροισμα των αριθμών σε κάθε στήλη να είναι μη αρνητικό και το άθροισμα των αριθμών σε κάθε γραμμή να είναι μη θετικό.
Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός μηδενικών που είναι δυνατόν να υπάρχουν στον πίνακα;
Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός μηδενικών που είναι δυνατόν να υπάρχουν στον πίνακα;
Θανάσης Κοντογεώργης
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πρόβλημα με πίνακα
Απάντηση: Θα έχουμε κατ' ελάχιστο μηδενικά.socrates έγραψε:Σε κάθε κελί ενός πίνακα γράφουμε έναν από τους αριθμούς έτσι ώστε το άθροισμα των αριθμών σε κάθε στήλη να είναι μη αρνητικό και το άθροισμα των αριθμών σε κάθε γραμμή να είναι μη θετικό.
Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός μηδενικών που είναι δυνατόν να υπάρχουν στον πίνακα;
Πράγματι, αφού το άθροισμα των αριθμών σε κάθε στήλη χωριστά είναι , έπεται ότι το άθροισμα όλων των αριθμών (που βέβαια προκύπτει ως άθροισμα όλων των αθροισμάτων των στηλών) είναι επίσης . Κάνοντας ακριβώς όμοιο συλλογισμό αλλά τώρα με γραμμές, το ίδιο αυτό άθροισμα είναι . Συγκρίνοντας με το προηγούμενο, συμπεραίνουμε ότι το άθροισμα είναι τελικά .
Δεύτερο συμπέρασμα είναι το εξής: Αφού το άθροισμα όλων των αριθμών είναι , και προκύπτει ως άθροισμα στηλών που οι προσθετέοι είναι όλοι , σημαίνει ότι ο κάθε προσθετέος χωριστά (δηλαδή το άθροισμα κάθε στήλης χωριστά) είναι . Ομοίως για τις γραμμές. Με άλλα λόγια, συμπεραίνουμε ότι το άθροισμα των αριθμών σε κάθε γραμμή χωριστά και σε κάθε στήλη χωριστά είναι .
Είδαμε ότι το άθροισμα σε οποιαδήποτε γραμμή είναι . Αφού αυτή προκύπτει από αθροίσματα και και , σημαίνει ότι σε κάθε γραμμή το πλήθος των είναι ακριβώς όσο το πλήθος των . Άρα το πλήθος των σε κάθε γραμμή είναι άρτιος αριθμός. Αφού η γραμμή έχει συνολικά αριθμούς, σημαίνει ότι τουλάχιστον ένας από αυτούς είναι . Με άλλα λόγια σε κάθε γραμμή περιέχεται ένα τουλάχιστον . Αφού οι γραμμές είναι , πρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον μηδενικά.
Το παρακάτω σχήμα δείχνει ότι το είναι εφικτό, οπότε και η απάντηση στο πρόβλημά μας.
Τα κόκκινα τετραγωνάκια έχουν (πέντε σε κάθε γραμμή και πέντε σε κάθε στήλη) ενώ τα λευκά έχουν (πάλι από πέντε σε κάθε γραμμή και στήλη).
.
- Συνημμένα
-
- +1-1.png (11.59 KiB) Προβλήθηκε 826 φορές
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης