Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3773
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#101

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Παρ Ιαν 12, 2018 8:19 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Ιαν 12, 2018 4:09 pm

ΑΣΚΗΣΗ 27

Δείξτε ότι αν ο αριθμός 1+2^n+4^n είναι πρώτος, τότε n=3^k για κάποιο φυσικό k.
Θα χρησιμοποιήσουμε το εξής λήμμα:

Αν ο n δε διαιρείται με το 3 τότε το πολυώνυμο x^{2n}+x^n+1 διαιρείται από το x^2+x+1

Απόδειξη

Αν n=3k+1 τότε 2n=2(3k+1)=3m+2 άρα

\begin{aligned}x^{2n}+x^n+1 &=x^{3m+2}+x^{3k+1}+1\equiv \left(x^3\right)^m\cdot x^2 + \left(x^3\right)^k \cdot x+1 \\ &\equiv 1\cdot x^2+1\cdot x+1 \equiv 0\pmod{(x^2+x+1)}\end{aligned}
διότι x^3\equiv 1\pmod{(x^2+x+1)}

Όμοια αν n=3k+2 τότε 2n=3m+1 και παίρνουμε και πάλι ότι x^{2n}+x^n+1 \equiv 0\pmod{(x^2+x+1)} \blacksquare

Επιστρέφουμε στην άσκηση:

Από το παραπάνω λήμμα αν ο n δεν διαιρείται από το 3 τότε για x=2 παίρνουμε ότι ο A=4^n+2^n+1 διαιρείται από το 2^2+2+1=7 άρα δεν είναι πρώτος.

Άρα για να είναι ο A πρώτος πρέπει ο n να διαιρείται από το 3. Αν n=3^k\cdot l, \ l>1 όπου k η μεγαλύτερη δύναμη του 3 που υπάρχει στο k (δηλαδή 3\nmid l) τότε με όμοιο επιχείρημα επειδή ο αριθμός \left(x^{3^k}\right)^{2l}+\left(x^{3^k}\right)^l+1 είναι πρώτος πρέπει ο l να διαιρείται από το 3 (από το παραπάνω Λήμμα), άτοπο. Άρα l=1 και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης

Λέξεις Κλειδιά:
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1141
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#102

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Παρ Ιαν 12, 2018 8:36 pm

Ωραία και κλασική άσκηση που φαίνεται η δύναμη των πολυωνύμων. Υπάρχει και στον Engel και στο βιβλίο Μαθ. Διαγωνισμοί ΙΙ.


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης