Λάθος, αλλά σωστή!

#1

Ας λύσουμε την εξίσωση

$\displaystyle{\sqrt{3x-2}-\sqrt{2x-3}=1.}$

Με ύψωση στο τετράγωνο βρίσκουμε

$\displaystyle{3x-2-2x-3=1,}$ άρα $\displaystyle{x=6}$ , τιμή η οποία επαληθεύει την εξίσωση.

Βρείτε άπειρες το πλήθος εξισώσεις της μορφής $\displaystyle{\sqrt{ax-b}-\sqrt{cx-d}=1,}$ για τις οποίες η παραπάνω "μέθοδος" οδηγεί σε λύση της εξίσωσης.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Μια προσπάθεια αν και κάτι μου βρωμάει...

Πρέπει αρχικά να ισχύει ότι:

ax-b-cx-d=x(a-c)-b-d=1

(1)

Από την από πάνω σχέση προκύπτει ότι $x=\dfrac{1+b+d}{a-c}$ (2)

Ακόμη πρέπει να ισχύει ότι:

$ax-b+cx-d-2\sqrt{(ax-b)(cx-d)}=x(a+c)-b-d-2\sqrt{(ax-b)(cx-d)}=1$ (3)

Αφαιρώντας τις σχέσεις (2) και (1) κατά μέλη προκύπτει ότι $2cx=2\sqrt{(ax-b)(cx-d)}\Rightarrow cx=\sqrt{(ax-b)(cx-d)}$ (4)

Αντικαθιστώντας στην (4) την (2)προκύπτει ότι $c\dfrac{1+b+d}{a-c}=\sqrt{(a\dfrac{1+b+d}{a-c}-b)(c\dfrac{1+b+d}{a-c}-d)}$ που έχει άπειρες λύσεις

Λάθος, αλλά σωστή!

Λάθος, αλλά σωστή!

Re: Λάθος, αλλά σωστή!

Μέλη σε σύνδεση