Ενδιαφέρον σύστημα

Panagiotis11 · #1

Να λύσετε το σύστημα:

$\left\{\begin{matrix}x^{2}+xy+x\omega -x=2 & & \\y^{2}+yx+y\omega-y=4 & & \\ \omega ^{2}+\omega x+\omega y-\omega =6 & & \end{matrix}\right.$

#2

Με πρόσθεση των εξισώσεων προκύπτει $\displaystyle{(x+y+z)^2-(x+y+z)-12=0,}$ άρα $\displaystyle{x+y+z=4\vee -3.}$

Επίσης το σύστημα γράφεται ως

$\displaystyle{\begin{cases} x(x+y+z-1)=2,\\ y(x+y+z-1)=4,\\ z(x+y+z-1)=6 \end{cases}}$

οπότε με αντικατάσταση βρίσκουμε

$\displaystyle{x=\frac{2}{3},y=\frac{4}{3},z=2}$ ή $\displaystyle{x=-\frac{1}{2}, y=-1,z=-\frac{3}{2}.}$

Η επαλήθευση είναι απλή.

#3

$\left\{ \begin{gathered} {x^2} + xy + xw - x = 2\,\,(1) \hfill \\ {y^2} + yx + yw - y = 4\,\,(2) \hfill \\ {w^2} + wx + wy - w = 6\,\,(3) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Προσθέτω κι έχω ${(x + y + w)^2} - (x + y + w) - 12 = 0$ .

Άρα : $x + y + w = 4\,\,(4)$ ή $x + y + w = - 3\,\,(5)$

Η $(1)\,\,,(2),\,\,(3)$ λόγω της (4)

δίδουν : $\boxed{(x,y,w) = (\frac{2}{3},\frac{4}{3},2)}$ . Ομοίως με την (5)

Με πρόλαβε ο κ. Θάνος

Panagiotis11 · #4

Πολύ έξυπνες και γρήγορες λύσεις αν και το είχα κάνει με έναν πιο περίπλοκο και κουραστικό τρόπο

Κατερινόπουλος Νικόλας · #5

Panagiotis11 έγραψε:Να λύσετε το σύστημα:

$\left\{\begin{matrix}x^{2}+xy+x\omega -x=2 & & \\y^{2}+yx+y\omega-y=4 & & \\ \omega ^{2}+\omega x+\omega y-\omega =6 & & \end{matrix}\right.$

Χαιρετώ!

Αφιαρώ κατά μέλη τη δεύτερη από την τρίτη και έχω $\omega ^{2}-y^2+wx-xy+\omega y - \omega y -\omega +y =2(4)$

Από (1), (4)

με πράξεις παίρνω $(x+y-\omega)(x+y+\omega -1)=0$ .

Παίρνουμε περιπτώσεις και αντικαθιστούμε.

Ενδιαφέρον σύστημα

Ενδιαφέρον σύστημα

Re: Ενδιαφέρον σύστημα

Re: Ενδιαφέρον σύστημα

Re: Ενδιαφέρον σύστημα

Re: Ενδιαφέρον σύστημα

Μέλη σε σύνδεση