Εντός πραγματικότητας

KARKAR · #1

Τέσσερις πραγματικοί αριθμοί , έχουν άθροισμα

και άθροισμα τετραγώνων

.

Βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του καθένα τους ,καθώς επίσης και

τους υπόλοιπους τρείς στην κάθε μία από τις δύο περιπτώσεις .

KARKAR · #2

Δίνω την απάντηση πιστεύοντας ότι δεν θα βοηθήσει ( άμεσα ) στη λύση !

Αν ονομάσουμε

τον έναν απ'αυτούς , τότε η μέγιστη τιμή του

είναι

,

οπότε οι άλλοι τρεις είναι οι: y=z=t=2

. Η ελάχιστη τιμή του

είναι $\dfrac{3}{2}$ , οπότε οι άλλοι τρείς είναι οι : $y=z=t=\dfrac{5}{2}$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 24, 2017 9:23 am
Δίνω την απάντηση πιστεύοντας ότι δεν θα βοηθήσει ( άμεσα ) στη λύση !

Αν ονομάσουμε τον έναν απ'αυτούς , τότε η μέγιστη τιμή του είναι ,

οπότε οι άλλοι τρεις είναι οι: . Η ελάχιστη τιμή του

είναι $\dfrac{3}{2}$ , οπότε οι άλλοι τρείς είναι οι : $y=z=t=\dfrac{5}{2}$ .

Εχω αντίθετη άποψη Θανάση.
Χθες που την έλυσα μου πήρε πολύ περισσότερο χρόνο για το μέγιστο και ελάχιστο παρά για τα άλλα.
Αυτά για μένα.
Αν έως το βράδυ δεν λυθεί θα γράψω την λύση μου.

dement · #4

Η δική μου λύση ταυτίζεται με τον Θανάση, οπότε ανυπομονώ να δω τη δική σου, Σταύρο. Για την ώρα ας αναμένουμε τους μαθητές μη φάμε παρατήρηση πάλι.

Al.Koutsouridis · #5

Νομίζω βρήκα και εγώ μια λύση που συμφωνεί με τον θεματοδότη

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Ωραία μου τη φέρατε να πληκτρολογήσω την λύση που ξέρει το μισό

Εστω

ένας από αυτούς και a,b,c

οι άλλοι.

Είναι $a+b+c=9-x,a^{2}+b^{2}+c^{2}=21-x^{2}$

Από C-S παίρνουμε $(9-x)^{2}\leq 3(21-x^{2})$

Δουλεύοντας το τριώνυμο βρίσκουμε ότι $\frac{3}{2}\leq x\leq 3$

Αρα μέγιστη τιμή το

και ελάχιστη το $\frac{3}{2}$

Αν x=3

η C-S για τα a,b,c

δίνει ισότητα και βρίσκουμε αυτά που γράφει ο Θανάσης.

Το ίδιο συμβαίνει όταν $x=\frac{3}{2}$

KARKAR · #7

Παρόμοια άσκηση τέθηκε στην USAMO - 1978

, με την εξής εκφώνηση :

Αν οι πραγματικοί a,b,c,d,e

, ικανοποιούν τις : a+b+c+d+e=8

και

, βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του

.

Η μία προταθείσα λύση ήταν παρόμοια με αυτή του Σταύρου , μόνο που αντί για την C-S

,

χρησιμοποιούσε την ανισότητα τετραγωνικού-αριθμητικού μέσου , δηλαδή για το αρχικό πρόβλημα

την : $\dfrac{a+b+c}{3}\leq\sqrt{\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}}$ , που βέβαια ( τετραγωνίζοντας ) καταλήγει

στη σχέση που χρησιμοποιεί απευθείας ο Σταύρος .

Η άλλη λύση είναι εντυπωσιακή ! Παρακολουθήστε την : Αν x,a,b,c

είναι οι αριθμοί μας , τότε

η μεση τιμή των a,b,c

θα είναι $m=\dfrac{9-x}{3}$ , συνεπώς υπάρχουν πραγματικοί a',b',c'

, ώστε :

και

, επομένως :

$21=x^2+3m^2+a'^2+b'^2+c'^2\geq x^2+\dfrac{(9-x)^2}{3}$ , που γίνεται :

$3x^2+(9-x)^2\leq 63$ και δίνει : $\dfrac{3}{2}\leq x\leq3$ κ.λ.π.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #8

Για να δούμε και την πραγματική ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ.

Εστω $x_{i},i=1,2,...n,n\geq 2$ πραγματικοί.

Εστω $\sum_{i=1}^{n}x_{i}=a,\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}=b$

Αν $a^{2}\leq nb$ τότε να βρεθούν

τα $max\left \{ x_{i}:i=1,2,..n \right \}$

και $min\left \{ x_{i}:i=1,2,..n \right \}$

Σε περίπτωση που κάποιο από τα $x_{i}$

πάρει μια από τις παραπάνω τιμές να βρεθούν τα υπόλοιπα.

KARKAR · #9

Ακολουθώντας την παραπάνω λύση του Σταύρου καταλήγουμε ότι για το κάθε $x_{i}$ ,

είναι : $\dfrac{a-\sqrt{(n-1)(bn-a^2)}}{n}\leq x_{i}\leq \dfrac{a+\sqrt{(n-1)(bn-a^2)}}{n}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #10

Το ξεφτιλίσαμε.
Βλέπω ότι το πρόβλημα έχει σχέση με Στατιστική.
Γιατί το $\sum_{i=1}^{n}x_{i}$
εχει σχέση με την μέση τιμή
ενώ το $\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}$
με την διασπορά.
Φτάνει.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #11

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 25, 2017 3:47 pm
Το ξεφτιλίσαμε.
Βλέπω ότι το πρόβλημα έχει σχέση με Στατιστική.
Γιατί το $\sum_{i=1}^{n}x_{i}$
εχει σχέση με την μέση τιμή
ενώ το $\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}$
με την διασπορά.
Φτάνει.

Να τα κάνω πιο λιανά. Αν στην Στατιστική έχουμε ένα δείγμα(παρατηρήσεις) τότε το
πρώτο πράγμα που κάνουμε είναι να βρούμε την μέση τιμή και την διασπορά του δείγματος.
Αυτά τα βρίσκουμε αμέσως αν ξέρουμε τα $\sum_{i=1}^{n}x_{i}$
$\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}$
με βάση τα παραπάνω η μέγιστη και ελάχιστη τιμή έχουν άνω και κάτω φράγμα
αντίστοιχα. Αν ξέρουμε ότι μια παρατήρηση πιάνει το άνω φράγμα της μέγιστης
τιμής η το κάτω φράγμα της ελάχιστης τότε γίνεται ΘΑΥΜΑ και ξέρουμε τις τιμές
όλων των παρατηρήσεων.

Εντός πραγματικότητας

Εντός πραγματικότητας

Re: Εντός πραγματικότητας

Re: Εντός πραγματικότητας

Re: Εντός πραγματικότητας

Re: Εντός πραγματικότητας

Re: Εντός πραγματικότητας

Re: Εντός πραγματικότητας

Re: Εντός πραγματικότητας

Re: Εντός πραγματικότητας

Re: Εντός πραγματικότητας

Re: Εντός πραγματικότητας

Μέλη σε σύνδεση