Άλυτη ανισότητα

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

#2

Δεν έχω λύση, καταθέτω όμως δύο παρατηρήσεις:

(Ι) Αν δούμε την διαφορά $\displaystyle\frac{2ab}{\left( a+1 \right)\left( b+1 \right)}+\displaystyle\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1}{ab\left( ab+5 \right)} - 1-\displaystyle\frac{{{\left( a-b \right)}^{2}}}{5\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right){{\left( ab+1 \right)}^{3}}}$ ως συνάρτηση του

, τότε τα γραφήματα δείχνουν ότι είναι γνησίως αύξουσα για a>1

ενώ έχει τοπικό ελάχιστο για a<1.

(II) Αν κάνουμε πλήρη ανάπτυξη της ζητούμενης ανισότητας προκύπτει ανισότητα δύο μεταβλητών με 61 όρους (βλέπετε συνημμένο), η οποία για b=a

ανάγεται στην $10a^2(a-1)^2(a^2+1)^3(a^4+5a^2+4a+1)\geq 0.$ (Δεν μπορώ να παραγοντοποιήσω (!) το πολυώνυμο δύο μεταβλητών των 61 όρων προς πιθανή επίλυση της ανισότητας -- ίσως να το προσπαθήσει κάποιος με καλύτερο λογισμικό, ιδίως αν δεν βρεθεί 'ανθρώπινη' λύση;)

: άλυτη-ανισότητα.png (135.18 KiB) Προβλήθηκε 505 φορές

Άλυτη ανισότητα

Άλυτη ανισότητα

Re: Άλυτη ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση