Ένα μεταβλητό και δύο σταθερά σημεία
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Ένα μεταβλητό και δύο σταθερά σημεία
Με αφορμή την ωραία άσκηση του KARKAR εδώ.
Χορδή , σταθερού μήκους , ολισθαίνει πάνω σε ημικύκλιο διαμέτρου .Οι τέμνονται
στο μεταβλητό σημείο Έστω το μέσο του και η προβολή του πάνω στη Να δείξετε ότι
καθεμία από τις ευθείες , διέρχεται από ένα σταθερό σημείο.
Προσπαθήστε (χωρίς αυτό να είναι απαραίτητο), να μην χρησιμοποιήσετε το αποτέλεσμα της άσκησης του Θανάση.
στο μεταβλητό σημείο Έστω το μέσο του και η προβολή του πάνω στη Να δείξετε ότι
καθεμία από τις ευθείες , διέρχεται από ένα σταθερό σημείο.
Προσπαθήστε (χωρίς αυτό να είναι απαραίτητο), να μην χρησιμοποιήσετε το αποτέλεσμα της άσκησης του Θανάση.
Λέξεις Κλειδιά:
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Ένα μεταβλητό και δύο σταθερά σημεία
Το πρόβλημα ισχύει σε γενικότερη μορφή , δηλαδή όχι απαραίτητα διάμετρο του κύκλου . Δηλαδή ισχύει η εξής πρόταση:george visvikis έγραψε:Με αφορμή την ωραία άσκηση του KARKAR εδώ.
Ένα μεταβλητό και δύο σταθερά σημεία.png Χορδή , σταθερού μήκους , ολισθαίνει πάνω σε ημικύκλιο διαμέτρου .Οι τέμνονται στο μεταβλητό σημείο Έστω το μέσο του και η προβολή του πάνω στη Να δείξετε ότι καθεμία από τις ευθείες , διέρχεται από ένα σταθερό σημείο.
Προσπαθήστε (χωρίς αυτό να είναι απαραίτητο), να μην χρησιμοποιήσετε το αποτέλεσμα της άσκησης του Θανάση.
Δίνεται κύκλος και σταθερή χορδή του (σε θέση και μέγεθος , έστω . Μεταβλητή χορδή του σταθερού μήκους κινείται στον ώστε να ανήκει εξ’ ολοκλήρου στο ένα τόξο του που ορίζεται από την , και έστω . Αν το μέσο της να δειχθεί ότι οι διέρχονται από σταθερά σημεία για τις διάφορες θέσεις της .
Απόδειξη της γενικότερης πρότασης
Με σημείο τόξου κύκλου (έστω ) χορδής
που δέχεται σε αυτή σταθερή γωνία (άρα σταθερού σε θέση και μέγεθος και ας είναι η ακτίνα του ) και ας είναι
Ομως
συνευθειακά και συνεπώς η διέρχεται από το κέντρο του σταθερού σημείου .
[attachment=0]Ενα σταθερό και δύο μεταβλητά.png[/attachment]
Με το μέσο της και .
Αν τότε
δηλαδή το βρίσκεται επί της μεσοκαθέτου της σταθερής (σε σταθερή ευθεία) και απέχει από το σταθερό σημείο σταθερή απόσταση.
Άρα διέρχεται από το σταθερό σημείο κατά την κίνηση της χορδής .
Στάθης
Υ.Σ. Αξίζει να σημειωθεί ότι παρόμοιο πρόβλημα ισχύει και για το σημείο αλλά και ένα ενδιαφέρον αποτέλεσμα,
ότι εφάπτεται του κύκλου (όπως ορίστηκε) και αφήνονται ως προβλήματα για να ασχοληθεί ο αναγνώστης.
- Συνημμένα
-
- Ενα σταθερό και δύο μεταβλητά.png (35.18 KiB) Προβλήθηκε 585 φορές
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Ένα μεταβλητό και δύο σταθερά σημεία
Στάθη σ' ευχαριστώ για τη λύση και για τη γενίκευσηΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Το πρόβλημα ισχύει σε γενικότερη μορφή , δηλαδή όχι απαραίτητα διάμετρο του κύκλου . Δηλαδή ισχύει η εξής πρόταση:george visvikis έγραψε:Με αφορμή την ωραία άσκηση του KARKAR εδώ.
Ένα μεταβλητό και δύο σταθερά σημεία.png Χορδή , σταθερού μήκους , ολισθαίνει πάνω σε ημικύκλιο διαμέτρου .Οι τέμνονται στο μεταβλητό σημείο Έστω το μέσο του και η προβολή του πάνω στη Να δείξετε ότι καθεμία από τις ευθείες , διέρχεται από ένα σταθερό σημείο.
Προσπαθήστε (χωρίς αυτό να είναι απαραίτητο), να μην χρησιμοποιήσετε το αποτέλεσμα της άσκησης του Θανάση.
Δίνεται κύκλος και σταθερή χορδή του (σε θέση και μέγεθος , έστω . Μεταβλητή χορδή του σταθερού μήκους κινείται στον ώστε να ανήκει εξ’ ολοκλήρου στο ένα τόξο του που ορίζεται από την , και έστω . Αν το μέσο της να δειχθεί ότι οι διέρχονται από σταθερά σημεία για τις διάφορες θέσεις της .
Απόδειξη της γενικότερης πρότασης
Με σημείο τόξου κύκλου (έστω ) χορδής
που δέχεται σε αυτή σταθερή γωνία (άρα σταθερού σε θέση και μέγεθος και ας είναι η ακτίνα του ) και ας είναι
Ομως
συνευθειακά και συνεπώς η διέρχεται από το κέντρο του σταθερού σημείου .
Ενα σταθερό και δύο μεταβλητά.png
Με το μέσο της και .
Αν τότε
δηλαδή το βρίσκεται επί της μεσοκαθέτου της σταθερής (σε σταθερή ευθεία) και απέχει από το σταθερό σημείο σταθερή απόσταση.
Άρα διέρχεται από το σταθερό σημείο κατά την κίνηση της χορδής .
Στάθης
Υ.Σ. Αξίζει να σημειωθεί ότι παρόμοιο πρόβλημα ισχύει και για το σημείο αλλά και ένα ενδιαφέρον αποτέλεσμα,
ότι εφάπτεται του κύκλου (όπως ορίστηκε) και αφήνονται ως προβλήματα για να ασχοληθεί ο αναγνώστης.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες