Ισοσκελές από καθετότητες

#1

: Ισοσκελές από καθετότητες.png (16.89 KiB) Προβλήθηκε 808 φορές

είναι τυχαία σημεία πάνω στις κάθετες πλευρές AC, AB

ορθογωνίου τριγώνου ABC

και έστω

το

μέσο του

και

το μέσο του AB.

Αν οι κάθετες από τα M, N

στις

αντίστοιχα τέμνονται στο

,

να δείξετε ότι το τρίγωνο FEB

είναι ισοσκελές.

#2

george visvikis έγραψε:Ισοσκελές από καθετότητες.png
είναι τυχαία σημεία πάνω στις κάθετες πλευρές ορθογωνίου τριγώνου και έστω το

μέσο του και το μέσο του Αν οι κάθετες από τα στις αντίστοιχα τέμνονται στο ,

να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Άμα βαριέται κανένας να πιέσει το μυαλό του .

Ας πάρουμε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων με αρχή το

και οριζόντιο άξονα

την

. Αν $E(2e,0)\,\,\,,\,\,\,B(2b,0)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,D(0,d)$ με e,b,d

θετικοί αριθμοί ,θα είναι

$M(e,0)\,\,\,,\,\,\,N(b,0)$ και

$\left\{ \begin{gathered} MF \to y = \frac{{2e}}{d}(x - e) \hfill \\ NF \to y = \frac{{2b}}{d}(x - b) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{F(b + e,\frac{{2be}}{d})}$ και έτσι

$\boxed{E{F^2} = B{F^2} = \frac{{{b^2}({d^2} + 4{e^2}) - 2b{d^2}e + {d^2}{e^2}}}{{{d^2}}}}$

Η και πιο απλά αφού η τετμημένη του

είναι το μέσο του

το $\vartriangle FEB$ είναι ισοσκελές.

#3

george visvikis έγραψε: είναι τυχαία σημεία πάνω στις κάθετες πλευρές ορθογωνίου τριγώνου και έστω το μέσο του και το μέσο του Αν οι κάθετες από τα στις αντίστοιχα τέμνονται στο , να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Εστω είναι οι ορθές προβολές του στις αντίστοιχα. Τότε $MN = AN - AM = \dfrac{{AB - AE}}{2} \Rightarrow \boxed{AB - AE = EB = 2MN}:\left( 1 \right)$ .

Με $MF \bot ED$ σύμφωνα με το [/color][color=#000000][b][i]Stathis ko ... b][/color] προκύπτει ότι $\dfrac{{TM}}{{AK}} = \dfrac{{AD}}{{AE}} \Rightarrow \boxed{AD \cdot AK = TM \cdot AE}:\left( 2 \right)$

και ομοίως από $NF \bot BD$ με το ίδιο Θεώρημα έχουμε: $\dfrac{{NT}}{{AK}} = \dfrac{{AD}}{{AB}} \Rightarrow \boxed{AD \cdot AK = NT \cdot AB}:\left( 2 \right)$ .
[attachment=0]Από καθετότητα σε Ισοσκελές.png[/attachment]
Από $\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow TM \cdot AE = NT \cdot AB \Rightarrow$ $\dfrac{{TM}}{{NT}} = \dfrac{{AB}}{{AE}} \Rightarrow \dfrac{{TM - NT}}{{NT}} = \dfrac{{AB - AE}}{{AE}}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)}$

$\dfrac{{MN}}{{NT}} = \dfrac{{2MN}}{{2ME}} \Rightarrow NT = ME \Rightarrow$ $MN = ET\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} \dfrac{{EB}}{2} = ET \Rightarrow ET = TB \Rightarrow FT$

μεσοκάθετη της $EB\Rightarrow \vartriangle FEB$ ισοσκελές και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

STOPJOHN · #4

george visvikis έγραψε:Ισοσκελές από καθετότητες.png
είναι τυχαία σημεία πάνω στις κάθετες πλευρές ορθογωνίου τριγώνου και έστω το

μέσο του και το μέσο του Αν οι κάθετες από τα στις αντίστοιχα τέμνονται στο ,

να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Καλημέρα σε όλους

Από τη γνωστή συνθήκη καθετότητας

$MF\perp DE\Leftrightarrow DM^{2}+EF^{2}=DF^{2}+ME^{2},(1), NF^{2}\perp DB^{2}\Leftrightarrow DN^{2}+FB^{2}=DF^{2}+NB^{2},(2), (1)-(2)\Rightarrow DM^{2}-DN^{2}+EF^{2}-FB^{2}=ME^{2}-NB^{2},(*)$

Αρκεί να αποδειχθεί ότι $DM^{2}-DN^{2}=ME^{2}-NB^{2},$
Aν είναι
$AD=t,AM=ME=k,AN=NB=\dfrac{c}{2},EN+2k=\dfrac{c}{2}, DM^{2}-DN^{2}=k^{2}-\dfrac{c^{2}}{4}, ME^{2}-NB^{2}=k^{2}-\dfrac{c^{2}}{4},$
Αρα
$DM^{2}-DN^{2}=ME^{2}-NB^{2}, EF=FB$

Γιάννης

Ισοσκελές από καθετότητες

Ισοσκελές από καθετότητες

Re: Ισοσκελές από καθετότητες

Re: Ισοσκελές από καθετότητες

Re: Ισοσκελές από καθετότητες

Μέλη σε σύνδεση