Ίσα γινόμενα

KARKAR · #1

: Ίσα γινόμενα.png (9.79 KiB) Προβλήθηκε 496 φορές

Από ένα σημείο

της προέκτασης της διαμέτρου

ενός ημικυκλίου , φέρω

το τμήμα

(

το μέσο του τόξου ) , το οποίο ξανατέμνει το ημικύκλιο στο

.

Δείξτε ότι : $PA\cdot PB=PM\cdot PS$ .

S.E.Louridas · #2

Έστω

σημείο του τεταρτοκύκλιου MA,

ώστε $BC\parallel PM.$ Τότε έχουμε: $BP = MC \Rightarrow BP + PM = MC + CA \Rightarrow PM = CA.$
Αν $PP' \bot AB,$ Τότε ως γνωστόν $PA \cdot PB = PP' \cdot AB,$ οπότε αρκεί να αποδείξουμε ότι $\displaystyle{PS \cdot PM = PA \cdot PB$ ή $PS \cdot CA = PP' \cdot AB \Leftrightarrow \frac{{PS}}{{PP'}} = \frac{{AB}}{{CA}},}$
που ισχύει αφού τα ορθογώνια τρίγωνα $SPP',\;BCA$ προφανώς είναι όμοια, καθότι έχουμε $\angle PSP'=\angle CBA.$

#3

: ισα γινόμενα_Karkar_21_2_2017.png (20.03 KiB) Προβλήθηκε 458 φορές

Προφανώς $\widehat M = \widehat {SBP}$ και

$\widehat S = \dfrac{1}{2}(\tau o\xi AM - \tau o\xi BP) = \dfrac{1}{2}(\tau o\xi MB - \tau o\xi BP) = \dfrac{1}{2}\tau o\xi MP = \widehat {PAM}$

$\vartriangle MAP \approx \vartriangle BSP$ άρα $\dfrac{{AP}}{{SP}} = \dfrac{{MP}}{{BP}} \Rightarrow PA \cdot PB = PM \cdot PS$

#4

KARKAR έγραψε:Ίσα γινόμενα.pngΑπό ένα σημείο της προέκτασης της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , φέρω

το τμήμα ( το μέσο του τόξου ) , το οποίο ξανατέμνει το ημικύκλιο στο .

Δείξτε ότι : $PA\cdot PB=PM\cdot PS$ .

Λίγο ανορθόδοξα

: Ίσα γινόμενα.png (22.51 KiB) Προβλήθηκε 440 φορές

Συμπληρώνω τον κύκλο (O, R)

και έστω

το συμμετρικό του

ως προς τη διάμετρο. $\displaystyle{P\widehat EM = P\widehat AM = M\widehat SO = O\widehat SE = \omega }$

και $\displaystyle{E\widehat PS = S\widehat EP = \varphi }.$ Αλλά $\displaystyle{E\widehat PS + P\widehat SO = {90^0} \Leftrightarrow \omega + \varphi = {90^0} \Leftrightarrow M\widehat ES = {90^0}},$ άρα το EOMS

είναι εγγράψιμο σε

κύκλο και έστω

το σημείο του με την EP.

Εύκολα βρίσκουμε ότι HP=MH=OM=R.

$\displaystyle{PA \cdot PB = 2Rh = PH \cdot PE = PM \cdot PS}$

KARKAR · #5

: Ίσα γινόμενα.png (17.03 KiB) Προβλήθηκε 407 φορές

Η ομοιότητα των τριγώνων MPN , PQS

, δίνει : $\dfrac{PM}{2R}=\dfrac{PQ}{PS}$ ,

δηλαδή : $PM\cdot PS=PQ\cdot 2R=PQ\cdot AB=PA\cdot PB$

Ίσα γινόμενα

Ίσα γινόμενα

Re: Ίσα γινόμενα

Re: Ίσα γινόμενα

Re: Ίσα γινόμενα

Re: Ίσα γινόμενα

Μέλη σε σύνδεση