Μεσοτοιχία

#1

: Μεσοτοιχία.png (19.34 KiB) Προβλήθηκε 805 φορές

Έστω

το έγκεντρο και το περίκεντρο αντίστοιχα τριγώνου ABC

και

το σημείο όπου η διχοτόμος της γωνίας

$\widehat A$ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο. Αν

είναι το συμμετρικό του

ως προς την

και η

τέμνει τον κύκλο στο

να δείξετε ότι η

διέρχεται από το μέσο

της

Επεξεργασία: Προστέθηκε ο Euler στις λέξεις κλειδιά.

#2

george visvikis έγραψε: Έστω το έγκεντρο και το περίκεντρο αντίστοιχα τριγώνου και το σημείο όπου η διχοτόμος της γωνίας
$\widehat A$ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο. Αν είναι το συμμετρικό του ως προς την και η τέμνει τον κύκλο στο να δείξετε ότι η διέρχεται από το μέσο της

$\bullet$ Με το μέσο του τόξου του κύκλου $\left( O \right)$ που δεν περιέχει το είναι $OE\bot BC\Rightarrow OE\parallel I{I}'$ .

Έστω η τέταρτη κορυφή του παραλληλογράμμου $OE{I}'Q\Rightarrow IQ={I}'Q-I{I}'=OE-2r=R-2r:\left( 1 \right)$ .

Από τον τύπο του Euler θα έχουμε: $O{I^2} = R\left( {R - 2r} \right) = OE \cdot IQ \Rightarrow$ $\dfrac{{OI}}{{IQ}} = \dfrac{{OE}}{{OI}}\mathop \Rightarrow \limits^{\angle OIQ = \angle IOE\left( {IQ\parallel OE} \right)} \vartriangle EOI \sim \vartriangle OIQ \Rightarrow$

$\angle EIO = \angle IQO\mathop = \limits^{I'QOE\,\,\pi \alpha \rho \alpha \lambda \lambda \eta \lambda o\gamma \rho \alpha \mu \mu o} \angle OEF$ $\mathop = \limits^{OE = OF = R} \angle OFE \Rightarrow I,O,E,F$ ομοκυκλικά.
[attachment=0]Μεσοτοιχία.png[/attachment]
$\bullet$ Είναι $\angle AOF\mathop = \limits^{\varepsilon \pi \iota \kappa \varepsilon \nu \tau \rho \eta \,\, - \,\,\varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu \eta } 2\left( {\angle AEF} \right) = 2\left( {\angle IEF} \right)$ $\mathop = \limits^{I,O,E,F\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha } 2\left( {\angle IOF} \right) \Rightarrow \angle AOI = \angle IOF \Rightarrow OI$

ο φορέας της διχοτόμου της γωνίας του ισοσκελούς τριγώνου $\left( OA=OF=R \right)$ $\vartriangle AOF$ άρα και της διαμέσου,

δηλαδή η διέρχεται από το μέσο της και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

Υ.Σ. Στα παραπάνω έχουμε αποδεχθεί σιωπηρά ότι . Ειναι προφανές από τον τύπο του Euler ότι σε κάθε τρίγωνο ισχύει: $R \geqslant 2r$ και στην ειδική περίπτωση που $R=2r\Rightarrow I\equiv O\Rightarrow \vartriangle ABC$ ισόπλευρο , γίνεται διάμετρος και το μηδενικό τμήμα έχοντας οποιαδήποτε διεύθυνση είναι κάθετο στην

Μεσοτοιχία

Μεσοτοιχία

Re: Μεσοτοιχία

Μέλη σε σύνδεση