Στο λόγο μου

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5648
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Στο λόγο μου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από george visvikis » Σάβ Μαρ 18, 2017 1:33 pm

Στο λόγο μου.png
Στο λόγο μου.png (16.45 KiB) Προβλήθηκε 247 φορές

Στο εσωτερικό τριγώνου ABC με BC=2AB, θεωρούμε σημείο M ώστε M\widehat BC=M\widehat CA=M\widehat AB (σημείο Brocard).

Αν ο περίκυκλος του τριγώνου AMC τέμνει τη BC στο D, να υπολογίσετε το λόγο \dfrac{MC}{MD}.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1072
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Στο λόγο μου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Ορέστης Λιγνός » Σάβ Μαρ 18, 2017 6:09 pm

george visvikis έγραψε:
Στο λόγο μου.png

Στο εσωτερικό τριγώνου ABC με BC=2AB, θεωρούμε σημείο M ώστε M\widehat BC=M\widehat CA=M\widehat AB (σημείο Brocard).

Αν ο περίκυκλος του τριγώνου AMC τέμνει τη BC στο D, να υπολογίσετε το λόγο \dfrac{MC}{MD}.


Γεια σας κύριε Γιώργο!


Μία περίπλοκη λύση, μπορεί να υπάρχει και πιο απλή...

Έστω \widehat{BMA}=\widehat{MBC}=\widehat{MCA}=\phi.


Με Ν.Ημιτόνων (τι άλλο :lol: ) στο τρίγωνο MCD παίρνουμε \dfrac{MC}{MD}=\dfrac{\sin \widehat{MDC}}{\sin \widehat{MCD}}=\dfrac{\sin \widehat{MAC}}{\sin \widehat{MCB}}.

Όμως, \displaystyle \dfrac{\sin \widehat{MAC}}{\sin \widehat{MCB}}=\dfrac{\sin \widehat{MAC}}{\sin \phi} \cdot \dfrac{\sin \phi}{\sin \widhat{MCB}}=\dfrac{MC}{MA} \cdot \dfrac{MC}{MB}=\dfrac{MC^2}{MA \cdot MB}.

Με Ν.Ημιτόνων στα MAC, MBC, MAB παίρνουμε \displaystyle MC=\dfrac{BC \cdot \sin \phi}{\sin \hat{C}} , \displaystyle MA=\dfrac{AC \cdot \sin \phi}{\sin \hat{A}} και MB=\dfrac{AB \cdot \sin \phi}{\sin \hat{B}}.

Τώρα, BC=2AB, \sin \widehat{A}=2\sin \hat{C}.

Με αντικατάσταση , \dfrac{MC^2}{MA \cdot MB}=\dfrac{8AB \cdot \sin \hat{B}}{AC \cdot \sin \hat{C}}=8 (από Ν.Ημιτόνων).

Άρα, \boxed{\dfrac{MC}{MD}=8}.


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5648
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Στο λόγο μου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από george visvikis » Σάβ Μαρ 18, 2017 7:11 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
george visvikis έγραψε:Στο λόγο μου.png
Στο εσωτερικό τριγώνου ABC με BC=2AB, θεωρούμε σημείο M ώστε M\widehat BC=M\widehat CA=M\widehat AB (σημείο Brocard).

Αν ο περίκυκλος του τριγώνου AMC τέμνει τη BC στο D, να υπολογίσετε το λόγο \dfrac{MC}{MD}.


Γεια σας κύριε Γιώργο!


Μία περίπλοκη λύση, μπορεί να υπάρχει και πιο απλή...

Έστω \widehat{BMA}=\widehat{MBC}=\widehat{MCA}=\phi.


Με Ν.Ημιτόνων (τι άλλο :lol: ) στο τρίγωνο MCD παίρνουμε \dfrac{MC}{MD}=\dfrac{\sin \widehat{MDC}}{\sin \widehat{MCD}}=\dfrac{\sin \widehat{MAC}}{\sin \widehat{MCB}}.

Όμως, \displaystyle \dfrac{\sin \widehat{MAC}}{\sin \widehat{MCB}}=\dfrac{\sin \widehat{MAC}}{\sin \phi} \cdot \dfrac{\sin \phi}{\sin \widhat{MCB}}=\dfrac{MC}{MA} \cdot \dfrac{MC}{MB}=\dfrac{MC^2}{MA \cdot MB}.

Με Ν.Ημιτόνων στα MAC, MBC, MAB παίρνουμε \displaystyle MC=\dfrac{BC \cdot \sin \phi}{\sin \hat{C}} , \displaystyle MA=\dfrac{AC \cdot \sin \phi}{\sin \hat{A}} και MB=\dfrac{AB \cdot \sin \phi}{\sin \hat{B}}.

Τώρα, BC=2AB, \sin \widehat{A}=2\sin \hat{C}.

Με αντικατάσταση , \dfrac{MC^2}{MA \cdot MB}=\dfrac{8AB \cdot \sin \hat{B}}{AC \cdot \sin \hat{C}}=8 (από Ν.Ημιτόνων).

Άρα, \boxed{\dfrac{MC}{MD}=8}.


Ορέστη, τα δουλεύεις όλα τα εργαλεία επαγγελματικά, όπως λέει κι ο Νίκος(Doloros) :clap2:

Με τη μαεστρία σου, τον έχεις διαλύσει τον συνονόματο Θεσσαλονικιό Κινέζο! :lol:


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3688
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Στο λόγο μου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Σάβ Μαρ 18, 2017 8:04 pm

george visvikis έγραψε:Στο λόγο μου.png
Στο εσωτερικό τριγώνου ABC με BC=2AB, θεωρούμε σημείο M ώστε M\widehat BC=M\widehat CA=M\widehat AB (σημείο Brocard). Αν ο περίκυκλος του τριγώνου AMC τέμνει τη BC στο D, να υπολογίσετε το λόγο \dfrac{MC}{MD}.

Για μια καλησπέρα στην όμορφη! παρέα του :logo:

\bullet Έστω K το δεύτερο (εκτός του M ) σημείο τομής του περίκυκλου του τριγώνου \vartriangle AMB με την CM .

Τότε B{C^2}\mathop  = \limits^{\varepsilon \varphi \alpha \pi \tau o\mu \varepsilon \nu \eta \,\, - \,\,\tau \varepsilon \mu \nu o\upsilon \sigma \alpha } MC \cdot CK\mathop  \Rightarrow \limits^{BC = 2AB} \boxed{4A{B^2} = MC \cdot CK}:\left( 1 \right).

Είναι A{B^2}\mathop  = \limits^{\varepsilon \varphi \alpha \pi \tau o\mu \varepsilon \nu \eta \,\, - \,\,\tau \varepsilon \mu \nu o\upsilon \sigma \alpha } BD \cdot BC\mathop  \Rightarrow \limits^{BC = 2AB} A{B^2} = 2BD \cdot AB \Rightarrow AB = 2BD\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} \boxed{8AB \cdot BD = MC \cdot CK}:\left( 2 \right).
στο λόγο μου.png
στο λόγο μου.png (34.66 KiB) Προβλήθηκε 165 φορές

Επίσης \angle CKA \equiv \angle MKA\mathop  = \limits^{A,M,B,K\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha } \angle MBA\mathop  \Rightarrow \limits^{\angle ACK = \angle MAB} \vartriangle ABM \sim \vartriangle CKA \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{CK}} = \dfrac{{AM}}{{AC}} \Rightarrow

\boxed{AB \cdot AC = AM \cdot CK}:\left( 3 \right). Από \left( 2 \right):\left( 3 \right) \Rightarrow \dfrac{{8BD}}{{AC}} = \dfrac{{MC}}{{AM}} \Rightarrow \boxed{MC \cdot AC = 8BD \cdot AM}:\left( 4 \right).

\bullet Με \angle MDB\mathop  = \limits^{A,M,D,C\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha } \angle MAC\mathop  \Rightarrow \limits^{\angle MBD = \angle ACM} \vartriangle BMD \sim \vartriangle CMA \Rightarrow \dfrac{{MD}}{{AM}} = \dfrac{{BD}}{{AC}} \Rightarrow \boxed{MD \cdot AC = BD \cdot AM}:\left( 5 \right).

Από \left( 4 \right):\left( 5 \right) \Rightarrow \boxed{\dfrac{{MC}}{{MD}} = 8} και το ζητούμενο έχει υπολογιστεί.

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5055
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Στο λόγο μου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από Doloros » Σάβ Μαρ 18, 2017 8:27 pm

Έστω E το άλλο σημείο τομής της BM με τον κύκλο (A,M,C)

Επειδή \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_4}} = \widehat {{a_3}} = \widehat {{a_2}} από υπόθεση, χορδής κι εφαπτομένης, εγγεγραμμένες σε

ίδιο τόξο θα είναι AE//BC άρα\widehat {ACB} = \widehat {CAE} και αφού \widehat {{a_5}} = \widehat {{a_6}} ως

εγγεγραμμένες στο ίδιο τόξο θα είναι \vartriangle ABC \approx \vartriangle ECA ,συνεπώς \boxed{AC = 2EC}\,\,(1).

Στο λόγο μου Βισβίκης.png
Στο λόγο μου Βισβίκης.png (29.97 KiB) Προβλήθηκε 157 φορές


Επειδή \left\{ \begin{gathered}
  \vartriangle MBD \approx \vartriangle CBE \hfill \\
  \vartriangle EBC \approx \vartriangle ACM \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
  MD = \frac{{DB \cdot CE}}{{EB}} \hfill \\
  MC = \frac{{AC \cdot BC}}{{EB}} \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{\frac{{MC}}{{MD}} = \frac{{BC}}{{DB}} \cdot \frac{{AC}}{{CE}}}\,\,(2)

Αλλά αφού η AB εφάπτεται του κύκλου (A,M,C) θα είναι

B{A^2} = BD \cdot BC \Rightarrow \boxed{BC = 4BD}\,\,(3) . Η (2) λόγω των (1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(3) δίδει

\boxed{\frac{{MC}}{{MD}} = 8}

Ήθελα να γράψω δύο λόγια προ λίγου αλλά με πέταξε έξω το δίκτυο . Τα γράφω τώρα.

Λαμβανομένου υπ όψιν το πολύ νεαρό της ηλικίας του Ορέστη ( ειδικά εν σχέση με μένα ) η έκφραση "Έλα Παππού να σου δείξω τα αμπέλια σου" ενώ λέγεται συνήθως περιπαιχτικά όταν κάποιος νεαρός κάνει υποδείξεις σε μεγαλύτερο και γνώστη των πραγμάτων , εδώ αντίθετα επαληθεύεται 100% . Πιστεύω να συμφωνεί και ο Στάθης . Ο Ορέστης τουλάχιστον εμένα νιώθω ότι με έχει αφήσει παρασάγγες πίσω ! Μπράβο Ορέστη Εύχομαι να ζήσω και να σε δω να Μεγαλουργείς !


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5648
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Στο λόγο μου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από george visvikis » Κυρ Μαρ 19, 2017 9:11 am

Χαιρετώ την εκλεκτή παρέα!

Θα δείξω τον γενικότερο τύπο \displaystyle{\frac{{MC}}{{MD}} = {\left( {\frac{a}{c}} \right)^3}}

Στο λόγο μου.b.png
Στο λόγο μου.b.png (18.29 KiB) Προβλήθηκε 125 φορές

Από το θεώρημα Πτολεμαίου στο AMDC: AM(a-x) + b \cdot MD = MC \cdot AD \Leftrightarrow \boxed{\frac{{MC}}{{MD}} = \frac{{AM(a-x)}}{{MD \cdot AD}} + \frac{b}{{AD}}} (1)

Από τα όμοια τρίγωνα ABC, ABD: \boxed{\frac{b}{{AD}} = \frac{a}{c}} (2) και από {c^2} = a \cdot x \Leftrightarrow \boxed{x = \frac{{{c^2}}}{a}} (3)

Από τα όμοια τρίγωνα MDB, MAC: \dfrac{{AM}}{{MD}} = \dfrac{b}{{x}}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(3)} \boxed{\frac{{AM}}{{MD}} = \frac{{ba}}{{{c^2}}}} (4)

Από (1), (2), (3), (4), \dfrac{{MC}}{{MD}} = \dfrac{{ba}}{{{c^2}}} \cdot \dfrac{{a - x}}{{\dfrac{{bc}}{a}}} + \dfrac{a}{c} = \dfrac{{ba}}{{{c^2}}} \cdot \dfrac{{{a^2} - {c^2}}}{{bc}} + \dfrac{a}{c} = \dfrac{{{a^3}}}{{{c^3}}} \Leftrightarrow \boxed{\frac{{MC}}{{MD}} = {\left( {\frac{{a}}{{c}}} \right)^3}}



Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης