Τρίγωνο με μια πλευρά ίση με τον αριθμητικό μέσο των άλλων δυο

Al.Koutsouridis · #1

Με αφορμή το πρόβλημα εδώ ας δούμε και μερικά ακόμη ερωτήματα. Με την βοήθεια κάποιων από αυτών μπορεί να λυθεί και το αναφερθέν πρόβλημα.

Α) Να αποδείξετε ότι ένα τρίγωνο έχει μια πλευρά ίση με το μέσο όρο των άλλων δυο, αν και μόνο αν:

(α1) Η ευθεία που ενώνει το βαρύκεντρο με το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου είναι παράλληλη σε μια πλευρά του ( BC || GI

).

(α2) Το έγκεντρο διχοτομεί το ευθύγραμμο τμήμα με άκρα μια κορυφή του και το σημείο τομής της διχοτόμου από αυτή την κορυφή με τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ( AI=IL{'}

).

(α3) Το ύψος του τριγώνου ισούται με την ακτίνα του παρεγεγραμμένου κύκλου που εφάπτεται της πλευράς στην οποία άγεται το ύψος ( $AD=I_{A}D{'}$ ).

(α4) Το σημείο επαφής του παρεγεγραμμένου κύκλου με μια πλευρά του τριγώνου και η βάση του ύψους που άγεται σε αυτή την πλευρά είναι συμμετρικά ως προς την βάση της διχοτόμου που αντιστοιχεί σε αυτή την πλευρά ( LD=LD{'}

).

Β) Αν σε ένα τρίγωνο η μια πλευρά είναι ίση με το μέσο όρο των άλλων ( $BC = \dfrac{AB+AC}{2}$ ), τότε να αποδείξετε ότι:

(β1) Η κορυφή

τα κέντρα του περιγεγραμμένου, εγγεγραμμένου κύκλου και τα μέσα των πλευρών AB,AC

είναι ομοκυκλικά.

(β2) Η ευθεία που διέρχεται από το βαρύκεντρο και το έγκεντρο εφάπτεται του παραπάνω κύκλου.

: meso_trigono.png (65.75 KiB) Προβλήθηκε 754 φορές

Edit: 21/03/17 Έγιναν μερικές τροποποιήσεις στην εκφώνηση ευχαριστώ τον κ.Βισβίκη για την επισήμανση

#2

Al.Koutsouridis έγραψε:Με αφορμή το πρόβλημα εδώ ας δούμε και μερικά ακόμη ερωτήματα. Με την βοήθεια κάποιων από αυτών μπορεί να λυθεί και το αναφερθέν πρόβλημα.

Α) Να αποδείξετε ότι ένα τρίγωνο έχει μια πλευρά ίση με το μέσο όρο των άλλων δυο, αν και μόνο αν:

(α1) Η ευθεία που ενώνει το βαρύκεντρο με το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου είναι παράλληλη σε μια πλευρά του ().

(α2) Το έγκεντρο διχοτομεί το ευθύγραμμο τμήμα με άκρα μια κορυφή του και το σημείο τομής της διχοτόμου από αυτή την κορυφή με τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ().

(α3) Το ύψος του τριγώνου ισούται με την ακτίνα του παρεγεγραμμένου κύκλου που εφάπτεται της πλευράς στην οποία άγεται το ύψος ( $AD=I_{A}D{'}$ ).

(α4) Το σημείο επαφής του παρεγεγραμμένου κύκλου με μια πλευρά του τριγώνου και η βάση του ύψους που άγεται σε αυτή την πλευρά είναι συμμετρικά ως προς την βάση της διχοτόμου που αντιστοιχεί σε αυτή την πλευρά ().

Β) Αν σε ένα τρίγωνο η μια πλευρά είναι ίση με το μέσο όρο των άλλων ( $BC = \dfrac{AB+AC}{2}$ ), τότε να αποδείξετε ότι:

(β1) Η κορυφή τα κέντρα του περιγεγραμμένου, εγγεγραμμένου κύκλου και τα μέσα των πλευρών είναι ομοκυκλικά.

(β2) Η ευθεία που διέρχεται από το βαρύκεντρο και το έγκεντρο εφάπτεται του παραπάνω κύκλου.

Edit: 21/03/17 Έγιναν μερικές τροποποιήσεις στην εκφώνηση ευχαριστώ τον κ.Βισβίκη για την επισήμανση

Καλημέρα Αλέξανδρε!

: b+c=2a.png (24.99 KiB) Προβλήθηκε 709 φορές

A) Έστω

(α1) $\displaystyle{\frac{{AI}}{{IL}} = \frac{{b + c}}{a} = 2 = \frac{{AG}}{{GM}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{IG||BC}$

(α2) $\displaystyle{AL \cdot LL' = BL \cdot LC = \frac{{ac}}{{b + c}} \cdot \frac{{ab}}{{b + c}} = \frac{{bc}}{4}}.$ Αλλά, $\displaystyle{AL = \sqrt {bc\left( {1 - \frac{{{a^2}}}{{{{(b + c)}^2}}}} \right)} = \frac{{\sqrt {3bc} }}{2}},$

οπότε $\displaystyle{LL' = \frac{{\sqrt {3bc} }}{6} = \frac{{AL}}{3} = IL}$ και κατά συνέπεια, $\boxed{AI=IL'}$

(α3),(α4) Είναι γνωστό ότι L'I=L'B=L'C=L'I_A,

άρα το

είναι το μέσο του DD'.

Το

είναι παραλληλόγραμμο(οι διαγώνιοί του διχοτομούνται). Επομένως: $\boxed{h_a=r_a}$

Ακολουθώντας αντίστροφη πορεία, αποδεικνύονται και οι αντίστροφες προτάσεις.

Β) (β1) Έχει αποδειχθεί εδώ(#9) ότι σημεία A, I, O

και τα μέσα των AB, AC,

είναι ομοκυκλικά και ο κύκλος αυτός έχει διάμετρο την

.

(β2) Η ακτίνα αυτού του κύκλου που διέρχεται από το έγκεντρο, ενώνει τα μέσα των AO, AL',

οπότε είναι κάθετη στην

άρα και στην IG.

Al.Koutsouridis · #3

Καλησπέρα κ.Γιώργο, ευχαριστώ για την ενασχόληση με τα ερωτήματα, γνωστά αλλά καλό να τα έχουμε και μαζεμένα. Μπορουν να χρησιμοποιηθούν σαν λήμματα και σε άλλα προβλήματα.

Να σημειώσουμε ότι υπάρχουν καμιά 5-6 ακόμα ("εύκολα") όμορφα αποτελέσματα για την συγκεκριμένη σχέση πλευρών. Καθώς και από μια ντουζίνα από ανάλογα συμπεράσματα στην περίπτωση μια πλευρά του τριγώνου να ισούται με τους άλλους κλασσικούς μέσους- γεωμετρικό, αρμονικό, τετραγωνικό.

Τρίγωνο με μια πλευρά ίση με τον αριθμητικό μέσο των άλλων δυο

Τρίγωνο με μια πλευρά ίση με τον αριθμητικό μέσο των άλλων δυο

Re: Τρίγωνο με μια πλευρά ίση με το αριθμητικό μέσο των αλλων δυο

Re: Τρίγωνο με μια πλευρά ίση με το αριθμητικό μέσο των αλλων δυο

Μέλη σε σύνδεση