Κατασκευή ισοπλεύρου 2

KARKAR · #1

: κατασκευή ισοπλεύρου.png (10.79 KiB) Προβλήθηκε 308 φορές

Στο σχήμα είναι OS >OA

. Κατασκευάστε ισόπλευρο τρίγωνο με μία κορυφή

το σημείο

, την κορυφή

στον

και την κορυφή

στην ευθεία y=a

.

Αν η κατασκευή σας γίνει χωρίς χρήση συντεταγμένων ...

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Αν

, υπολογίστε το

.

#2

KARKAR έγραψε:κατασκευή ισοπλεύρου.pngΣτο σχήμα είναι . Κατασκευάστε ισόπλευρο τρίγωνο με μία κορυφή

το σημείο , την κορυφή στον και την κορυφή στην ευθεία .

Αν η κατασκευή σας γίνει χωρίς χρήση συντεταγμένων ...
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
..."ενισχύεται" ο βαθμός σας στη Γεωμετρία

Αν , υπολογίστε το .

Για να υποστηρίξω - προστατέψω την Γεωμετρία (και όχι για βαθμό)

$\bullet$ Έστω το συμμετρικό του ως την $\left( e \right)$ και η ευθεία $\left( t \right)\bot OA,{S}'\in \left( t \right)$
Ο κύκλος $\left( S,2OA \right)$ τέμνει την ευθεία $\left( f \right)$ στο σημείο (υπάρχει και το συμμετρικό σημείο ως προς το αλλά ας κατασκευάσουμε το ένα ισόπλευρο).
Ο περίκυκλος του τριγώνου $\vartriangle S{S}'K$ τέμνει την $\left( t \right)$ και στο σημείο $L\ne {S}'$ και την $\left( f \right)$ στο σημείο $P\ne K$ . Αν $Q\equiv SL\cap \left( e \right)$ τότε το (ένα) ζητούμενο ισόπλευρο είναι το $\vartriangle SPQ$
[attachment=0]Κατασκευή ισόπλευρου 2.png[/attachment]

$\bullet$ Πράγματι με διάμετρο του κύκλου $S,{S}',P,K,L\left( \angle S{S}'L={{90}^{0}} \right)$ και μεσοκάθετη της χορδής του $S{S}'\Rightarrow Q$ το κέντρο του οπότε $\boxed{QS = QP}:\left( 1 \right)$ . Από το ορθογώνιο τρίγωνο

$\vartriangle SOK\left( {\angle SOK = {{90}^0}} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{SK = 2SO} \angle SKO \equiv \angle SKP = {30^0}$ $\mathop \Rightarrow \limits^{\varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu \eta \,\, - \,\,\varepsilon \pi \iota \kappa \varepsilon \nu \tau \rho \eta } \angle SQP = {60^0}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} \vartriangle SPQ$

ισόπλευρο και η κατασκευή τεκμηριώθηκε!

Στάθης
Υ.Σ. Το μετρικό επι πλέον αποτέλεσμα είναι πλέον εύκολο από το σχήμα αλλά ας το αφήσω να το "εκτελέσει" κάποιος άλλος αλλιώς θα επανέλθω αργότερα (οι επι πλέον γραμμές στο σχήμα είναι για το σκοπό αυτό)

#3

KARKAR έγραψε:κατασκευή ισοπλεύρου.pngΣτο σχήμα είναι . Κατασκευάστε ισόπλευρο τρίγωνο με μία κορυφή

το σημείο , την κορυφή στον και την κορυφή στην ευθεία .

Αν η κατασκευή σας γίνει χωρίς χρήση συντεταγμένων ... ..."ενισχύεται" ο βαθμός σας στη Γεωμετρία
Αν , υπολογίστε το .

Εγώ σε αντίθεση με το Στάθη, το κάνω για το βαθμό

: Κατασκευή ισοπλεύρου 2.png (12 KiB) Προβλήθηκε 244 φορές

Ανάλυση:
Έστω ότι κατασκευάστηκε και είναι OS=d,

η προβολή του

στον

η πλευρά του ισοπλεύρου και

η διάμεσος του τραπεζίου OSQH.

Τα τρίγωνα AQS, MNP

είναι όμοια: $\displaystyle{\dfrac{{\dfrac{{k\sqrt 3 }}{2}}}{k} = \dfrac{{\dfrac{{a + d}}{2}}}{{AQ}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{AQ = \frac{{(a + d)}}{{\sqrt 3 }}}$

Τώρα οδηγούμαστε στην παρακάτω κατασκευή.

Κατασκευή:
Γράφω τον κύκλο $\displaystyle{\left( {O,\frac{{(a + d)}}{{\sqrt 3 }}} \right)}$ που τέμνει την ευθεία y=a

στο

Η κατασκευή του ισοπλεύρου SPQ

είναι πλέον απλή.

Υπολογισμός:
Με Πυθαγόρειο στα τρίγωνα SAQ, SOP

βρίσκω πρώτα SQ^2=SP^2=28

και στη συνέχεια $\boxed{OP=\sqrt 3}$

Κατασκευή ισοπλεύρου 2

Κατασκευή ισοπλεύρου 2

Re: Κατασκευή ισοπλεύρου 2

Re: Κατασκευή ισοπλεύρου 2

Μέλη σε σύνδεση