Τόπος ορθοκέντρου

#1

Σε οξυγώνιο τρίγωνο ABC

η διάμεσος

είναι σταθερή κατά θέση και μέγεθος, ενώ οι κορυφές B,
C

κινούνται έτσι ώστε

το μήκος της πλευράς

να παραμένει σταθερό. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του ορθοκέντρου

του τριγώνου ABC.

#2

Γιώργο η λύση που δίνω είναι μετρική.

: locus_01.png (16.58 KiB) Προβλήθηκε 652 φορές

Έστω

η προβολή του ορθοκέντρου

στον φορέα της διαμέσου $AO_{1}$ , Από το εγγράψιμμο $SH{H_1}{O_1}$ έχουμε ότι
$AS \cdot {\mu _\alpha } = {\upsilon _\alpha } \cdot AH$ (1)
To β΄μέλος της (1) γράφεται και
${\upsilon _\alpha } \cdot AH = {\upsilon _\alpha }\left( {{\upsilon _\alpha } - x} \right) = {\upsilon ^2}_\alpha - x{\upsilon _\alpha } = {\mu ^2}_\alpha - {O_1}{H^2}_1 - x{\upsilon _\alpha } = {\mu ^2}_\alpha - {O_1}{H^2}_1 - B{H_1} \cdot \Gamma {H_1}$
όπου

είναι το μήκος των ίσων τμημάτων $HH_{1}$ και $H_{1}A_{1}$ . Αλλά:
${\mu ^2}_\alpha - {O_1}{H^2}_1 - B{H_1} \cdot \Gamma {H_1} = {\mu ^2}_\alpha - {O_1}{H^2}_1 - \left( {\frac{\alpha }{2} + {O_1}{H_1}} \right) \cdot \left( {\frac{\alpha }{2} - {O_1}{H_1}} \right) = {\mu ^2}_\alpha - \frac{{{\alpha ^2}}}{4}$
Από την τελευταία συμπεραίνουμε ότι
$AS \cdot {\mu _\alpha } = {\mu ^2}_\alpha - \frac{{{\alpha ^2}}}{4}$
και επομένως το

, άρα και το

είναι σταθερό. Επομένως το ορθόκεντρο ανήκει σε σταθερή ευθεία κάθετη στην σταθερή διάμεσο στο

.
Επίσης βρίσκω ότι αν πάρουμε οποιοδήποτε σημείο

της ευθείας αυτής διάφορο του

κατασκευάζονται διαδοχικά το $H_{1}$ , ο φορέας της πλευράς $\alpha$ , η ευθεία Euler, το κέντρο του περιγργραμμένου κύκλου και τέλος οι κορυφές ${\rm B},\Gamma$ και επομένως ο τόπος είναι η συγκεκριμένη ευθεία. Δεν γράφω διερεύνηση γιατί είναι περασμένη η ώρα.
Μαυρογιάννης

#3

george visvikis έγραψε:Σε οξυγώνιο τρίγωνο η διάμεσος είναι σταθερή κατά θέση και μέγεθος, ενώ οι κορυφές κινούνται έτσι ώστε

το μήκος της πλευράς να παραμένει σταθερό. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του ορθοκέντρου του τριγώνου

Γιώργο και Νίκο καλημέρα!. Είναι προφανές (λεπτομέρειες αύριο γιατί ακόμα και στις βρυξέλλες (με μια ώρα νωρίτερα είναι αργά ) ότι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος του ορθοκέντρου είναι η κοινή χορδή των κύκλων $\left( {M,\dfrac{{BC}}{2}} \right)$ και του κύκλου διαμέτρου

Με εκτίμηση
Στάθης

#4

george visvikis έγραψε:Σε οξυγώνιο τρίγωνο η διάμεσος είναι σταθερή κατά θέση και μέγεθος, ενώ οι κορυφές κινούνται έτσι ώστε το μήκος της πλευράς να παραμένει σταθερό. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του ορθοκέντρου του τριγώνου

Έστω $G = \left\{ {H/H\;o\rho \theta o\kappa \varepsilon \nu \tau \rho o\;\tau o\upsilon \;\vartriangle ABC} \right\}$ , με διάμεσος (σταθερή κατά μέτρο και θέση) και σταθερή μόνο κατά μέτρο, και ${G}'=\left\{ P/P\ \in KL \right\}$ , όπου η κοινή χορδή των σταθερών κύκλων $\left( M,\dfrac{BC}{2} \right)$ και του κύκλου $\left( O \right)$ διαμέτρου .

$\bullet$ (Σχήμα 1) Έστω $H\in G\Leftrightarrow H$ το ορθόκεντρο του τριγώνου . Αν τα ύψη του προφανώς ${A}'\in \left( O \right)$ (αφού $\angle A{A}'M={{90}^{0}}$ ) και ${C}',{B}'\in \left( M \right)$ (αφού $\angle B{B}'C=\angle B{C}'C={{90}^{0}}$ ) .

Τότε θα ισχύει: $HA \cdot HA'\mathop = \limits^{A',C,A,C'o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha \left( {\angle AC'C = \angle AA'C = {{90}^0}} \right)} HC \cdot HC' \Rightarrow H$ έχει ίσες δυνάμεις ως προς του κύκλου $\left( O \right),\left( M \right)$ και συνεπώς είναι σημείο του ριζικούς τους άξονα με $\left\{ K,L \right\}\equiv \left( O \right)\cap \left( M \right)$ , άρα $H \in G' \Rightarrow \boxed{G \subseteq G'}:\left( 1 \right)$ .
[attachment=0]Γεωμετρικός τόπος ορθοκέντρου.png[/attachment]
$\bullet$ (Σχήμα 2) Έστω $P\in {G}'$ και θα δείξουμε ότι το είναι ορθόκεντρο τριγώνου $\vartriangle ABC$ με τις προδιαγραφές της εκφώνησης.

Έστω ${A}'\equiv AP\cap \left( O \right),{A}'\ne A$ και διάμετρος του κύκλου $\left( M \right)$ διερχόμενη από το . Τότε $A{A}'\bot BC\equiv {A}'M$ (αφού διάμετρος του $\left( O \right)$ ) , δηλαδή το είναι σημείο του ύψους του εν λόγω τριγώνου $\vartriangle ABC$ . Προφανώς $AM\equiv OM\bot KL$ (διάκεντρος κάθετη στο ριζικό άξονα κύκλων και ας είναι $T\equiv AM\cap KL$ .

Με διάμετρο του $\left( O \right)\Rightarrow AK\bot MK\Rightarrow AK$ εφαπτόμενη του $\left( M \right) \Rightarrow \boxed{A{K^2} = AC' \cdot AB}:\left( 2 \right)$ , όπου ${C}'\equiv AB\cap \left( M \right),{C}'\ne B$ .

Από το ορθογώνιο τρίγωνο $\vartriangle AKM\left( {\angle AKM = {{90}^0}} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{KT \bot AM} A{K^2} = AT \cdot AM$

$\mathop = \limits^{P,T,M,A'\;o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha \left( {\angle PTM = \angle PA'M = {{90}^0}} \right)} AP \cdot AA'\mathop = \limits^{\left( 2 \right)} AC' \cdot AB$ $\Rightarrow C',B,A',P$ ομοκυκλικά και με $PA' \bot BA' \Rightarrow \boxed{PC' \bot AB}:\left( 3 \right)$ .

Εξάλλου $\boxed{CC' \bot AB}:\left( 4 \right)$ (αφού διάμετρος του $\left( M \right)$ . Από $\left( 3 \right),\left( 4 \right)$ προκύπτει ότι συνευθειακά (σε σημείο ευθείας υψώνεται μοναδική κάθετη σε αυτή) δηλαδή το είναι σημείο και του ύψους (εκτός του ) του τριγώνου $\vartriangle ABC$ και άρα είναι το ορθόκεντρό του, δηλαδή $P \in G \Rightarrow \boxed{G' \subseteq G}:\left( 5 \right)$ .

Από $\left( 1 \right),\left( 5 \right) \Rightarrow \boxed{G \equiv G'}$ .

Διερεύνηση: Επειδή το τρίγωνο $\vartriangle ABC$ θέλουμε να είναι οξυγώνιο ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος περιορίζεται (προφανώς) στην κοινή χορδή των κύκλων $\left( M \right),\left( O \right)$ χωρίς τα άκρα της

Στάθης

#5

Mια ελαφρώς συντομότερη προσέγγιση από την χθεσινή ως προς τον εντοπισμό της ευθείας που βρίσκεται το ορθόκεντρο. Όπως σωστά επισημαίνει ο Στάθης προκειμένου για οξυγώνιο και όχι τυχόν τρίγωνο (κάτι που δεν είδα) ο τόπος περιορίζεται στο μέρος της ευθείας που αναφέρει.

: locus_02.png (17.3 KiB) Προβλήθηκε 598 φορές

Σημειώνουμε με

την προβολή του κέντρου του περιγεγραμμένου κύκλου στην διάμεσο και με $Q_{1}$ το σημείο τομής του φορέα της με τον κύκλο.
Με δύναμη σημείου του $Q_{1}$ βγαίνει σταθερό οπότε το μέσο

του $AQ_{1}$ είναι σταθερό. Άρα το

ανήκει σε σταθερή ευθεία επομένως και το ομοιόθετο του

ως προς κέντρο ομοιοθεσίας το σταθερό

. Τ
Μαυρογιάννης

Τόπος ορθοκέντρου

Τόπος ορθοκέντρου

Re: Τόπος ορθοκέντρου

Re: Τόπος ορθοκέντρου

Re: Τόπος ορθοκέντρου

Re: Τόπος ορθοκέντρου

Μέλη σε σύνδεση