Στριφνό τμήμα

KARKAR · #1

: Στριφνό μήκος.png (16.61 KiB) Προβλήθηκε 432 φορές

Ημικύκλιο έχει διάμετρο AD=d

. Στην εφαπτομένη του στο

, ορίσαμε σημείο

,

ώστε : AB=b , b>d

. Η

τέμνει το τόξο στο

, ενώ η

τέμνει την άλλη

εφαπτομένη στο

, στο σημείο

. Οι προεκτάσεις των AD,BC

τέμνονται στο

.

α) Δείξτε ότι η

εφάπτεται του ημικυκλίου ... β) Υπολογίστε το

.

Εφαρμογή για d=4 , b=7

. Πρέπει να βρείτε : $(ST)=\dfrac{112}{33}$

Ορέστης Λιγνός · #2

KARKAR έγραψε:
Στριφνό μήκος.png
Ημικύκλιο έχει διάμετρο . Στην εφαπτομένη του στο , ορίσαμε σημείο ,

ώστε : . Η τέμνει το τόξο στο , ενώ η τέμνει την άλλη

εφαπτομένη στο , στο σημείο . Οι προεκτάσεις των τέμνονται στο .

α) Δείξτε ότι η εφάπτεται του ημικυκλίου ... β) Υπολογίστε το .

Εφαρμογή για . Πρέπει να βρείτε : $(ST)=\dfrac{112}{33}$

Καλησπέρα Θανάση!

α) Έστω ότι η

τέμνει την

στο

.

Προφανώς, $\widehat{SDC}=\widehat{SAB} \Rightarrow$ $DC \parallel AB$ .

Άρα, $\dfrac{SD}{DA}=\dfrac{SC}{CB}$ (1).

Από το Θ. Ceva για τις SE,BD,AC

έχουμε $\dfrac{DA}{DS} \cdot \dfrac{CS}{CB} \cdot \dfrac{EB}{EA}=1 \mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} AE=EB$ .
'Όμως, $\widehat{ATB}=90^0$ , οπότε AE=TE=EB

.

Το

είναι εφαπτόμενο τμήμα, και αφού AE=ET

, το

είναι επίσης εφαπτόμενο τμήμα, δηλαδή η

εφάπτεται του ημικυκλίου ό.έ.δ

β) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABD

, η

είναι ύψος, άρα $\dfrac{DT}{TB}=\dfrac{DA^2}{AB^2}$ (2).

Από την $DC \parallel AB$ , τα DCT,ABT

είναι όμοια, οπότε $\dfrac{DC}{AB}=\dfrac{DT}{TB} \mathop = \limits^{(2)} \dfrac{DA^2}{AB^2}$ .

Άρα, $\dfrac{DC}{AB}=\dfrac{DA^2}{AB^2} \Leftrightarrow \dfrac{DC}{AB}=\dfrac{d^2}{b^2}$ (3).

Από τα όμοια SDC,SAB

είναι $\dfrac{SD}{SA}=\dfrac{DC}{AB} \mathop = \limits^{(3)} \dfrac{d^2}{b^2} \Leftrightarrow \dfrac{SD}{SD+d}=\dfrac{d^2}{b^2}$ (4).

Από την (4) είναι $SD=\dfrac{d^3}{b^2-d^2}$ .

Έτσι, $SA=SD+d=\dfrac{b^2d}{b^2-d^2}$ .

Τελικά, από το α), $ST^2=SD \cdot SA=\dfrac{d^4b^2}{(b^2-d^2)^2} \Leftrightarrow \boxed{ST=\dfrac{bd^2}{b^2-d^2}}$ , και για την εφαρμογή, $ST=\dfrac{112}{33}$ .

#3

a) Αν

η προβολή του

στην

, τότε η πολική του

ως προς τις ευθείες

$AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC$ είναι η ευθεία

. Η ευθεία

διέρχεται από τα μέσα των

Βάσεων $M,\,\,,N$ των βάσεων $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CD$ του τραπεζίου ABCD

έτσι τα σημεία

S,T,N,M

αποτελούν αρμονική σημειοσειρά, οπότε και τα σημεία S,K,D,A

αποτελούν αρμονική σημειοσειρά και αφού $DT \bot TA$ το τμήμα

είναι

εφαπτόμενο του ημικυκλίου .

: Στρυφνό τμήμα.png (24.13 KiB) Προβλήθηκε 369 φορές

b) Αν

το συμμετρικό του

ως προς

ο κύκλος διαμέτρου

είναι

εγγεγραμμένος στο $\vartriangle SZM$ . Το τρίγωνο αυτό έχει ημιπερίμετρο

$s = \dfrac{b}{2} + SM = \dfrac{b}{2} + \sqrt {A{M^2} + A{S^2}} \,\,(1)$ αν λοιπόν θέσω SD = y

θα έχω:

$\displaystyle{\left\{ \begin{gathered} S{T^2} = SD \cdot SA \hfill \\ (SZM) = \dfrac{1}{2}SA \cdot AM = s\dfrac{d}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} S{T^2} = y(y + d) \hfill \\ b(y + d) = sd \hfill \\ \end{gathered} \right.}$ οπότε και λόγω της (1)

έχω :

$2dy + 2db = db + \sqrt {{b^2} + 4{{(y + d)}^2}}$ και προκύπτει η εξίσωση :

${b^2}{(2y + d)^2} = {d^2}[{b^2} + 4{(y + d)^2}]$ με δεκτή λύση : $y = \boxed{\frac{{{d^3}}}{{{b^2} - {d^2}}}}\,\,(2)$ .

Επειδή δε $ST = \sqrt {y(d + y)}$ λόγω της (2)

έχω: $\boxed{ST = \dfrac{{{d^2}b}}{{{b^2} - {d^2}}}}$ . π. χ. με

$b = 7\,\,\kappa \alpha \iota \,\,d = 4$ προκύπτει το επαληθευμένο αποτέλεσμα : $ST = \dfrac{{112}}{{33}}$ .

Στριφνό τμήμα

Στριφνό τμήμα

Re: Στριφνό τμήμα

Re: Στριφνό τμήμα

Μέλη σε σύνδεση