Στο ημικύκλιο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5045
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Στο ημικύκλιο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από Doloros » Δευ Απρ 17, 2017 12:49 pm

Στο ημικύκλιο.png
Στο ημικύκλιο.png (13.91 KiB) Προβλήθηκε 245 φορές


Έστω ημικύκλιο διαμέτρου AB = 2R και κέντρου O. Ας είναι M το μέσο του OB .

Σημείο S διατρέχει τα εσωτερικά σημεία της ακτίνας OA.

1. Να βρεθεί σημείο P στο ημικύκλιο τέτοιο ώστε αν η PM τέμνει , ακόμα,

τον κύκλο (A,O,P) στο Q να είναι AS = PQ

2. Να βρεθούν οι θέσεις του S για τις οποίες

a) \widehat {PMA} = 60^\circ

b) AQ \bot PM



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3685
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Στο ημικύκλιο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Παρ Απρ 21, 2017 11:35 am

Doloros έγραψε: Έστω ημικύκλιο διαμέτρου AB = 2R και κέντρου O. Ας είναι M το μέσο του OB .
Σημείο S διατρέχει τα εσωτερικά σημεία της ακτίνας OA.
1. Να βρεθεί σημείο P στο ημικύκλιο τέτοιο ώστε αν η PM τέμνει , ακόμα, τον κύκλο (A,O,P) στο Q να είναι AS = PQ
2. Να βρεθούν οι θέσεις του S για τις οποίες
a) \widehat {PMA} = 60^\circ
b) AQ \bot PM


Υποθέτοντας ότι ο Νίκος για τα υποερωτήματα του 2) ερωτήματος εννοεί ότι ισχύει η συνθήκη του 1) ερωτήματος

1. Αν AS=PQ=a, τότε από το θεώρημα των τεμνομένων χορδών στον κύκλο \left( A,O,P \right) θα ισχύει:

MQ \cdot MP = MO \cdot MA \Rightarrow \left( {MP - a} \right) \cdot MP = \dfrac{R}{2} \cdot \dfrac{{3R}}{2}\mathop  \Rightarrow \limits^{MP > 0}  \ldots \boxed{MP = \frac{{a + \sqrt {{a^2} + 3{R^2}} }}{2}}

2. α) Από το Νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο \vartriangle OPM θα έχουμε: O{P^2} = M{P^2} + O{M^2} - 2MP \cdot OM\cos {60^0} \Leftrightarrow

M{P^2} - \dfrac{R}{2}MP - \dfrac{{3{R^2}}}{4} = 0 \Leftrightarrow \ldots MP = \dfrac{{\frac{R}{2} + \dfrac{{R\sqrt {13} }}{2}}}{2} \Rightarrow MP = \dfrac{{R\left( {1 + \sqrt {13} } \right)}}{4} \Rightarrow \dfrac{{a + \sqrt {{a^2} + 3{R^2}} }}{2} = \dfrac{{R\left( {1 + \sqrt {13} } \right)}}{4} \Leftrightarrow  \ldots \boxed{a = \dfrac{R}{2}}

β) Αν AQ \bot PM\mathop  \Rightarrow \limits^{A,O,Q,P\;o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha } PO \bot AB\mathop  \Rightarrow \limits^{\Pi .\Theta } MP = \dfrac{{R\sqrt 5 }}{2} \Rightarrow \dfrac{{a + \sqrt {{a^2} + 3{R^2}} }}{2} = \dfrac{{R\sqrt 5 }}{2}

\Leftrightarrow  \ldots {\left( {\sqrt {{a^2} + 3{R^2}} } \right)^2} = {\left( {R\sqrt 5  - a} \right)^2} \Leftrightarrow {a^2} + 3{R^2} = 5{R^2} - 2aR\sqrt 5  + {a^2} \Rightarrow  \ldots \boxed{a = \dfrac{{R\sqrt 5 }}{5}}

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες