mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 17, 2017 12:49 pm**

: Στο ημικύκλιο.png (13.91 KiB) Προβλήθηκε 749 φορές

Έστω ημικύκλιο διαμέτρου AB = 2R

και κέντρου

. Ας είναι

το μέσο του

.

Σημείο

διατρέχει τα εσωτερικά σημεία της ακτίνας

.

1. Να βρεθεί σημείο

στο ημικύκλιο τέτοιο ώστε αν η

τέμνει , ακόμα,

τον κύκλο (A,O,P)

στο

να είναι

2. Να βρεθούν οι θέσεις του

για τις οποίες

a) $\widehat {PMA} = 60^\circ$

b) $AQ \bot PM$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Απρ 21, 2017 11:35 am**

Doloros έγραψε: Έστω ημικύκλιο διαμέτρου και κέντρου . Ας είναι το μέσο του .
Σημείο διατρέχει τα εσωτερικά σημεία της ακτίνας .
1. Να βρεθεί σημείο στο ημικύκλιο τέτοιο ώστε αν η τέμνει , ακόμα, τον κύκλο στο να είναι
2. Να βρεθούν οι θέσεις του για τις οποίες
a) $\widehat {PMA} = 60^\circ$
b) $AQ \bot PM$

Υποθέτοντας ότι ο Νίκος για τα υποερωτήματα του 2) ερωτήματος εννοεί ότι ισχύει η συνθήκη του 1) ερωτήματος

1. Αν AS=PQ=a

, τότε από το θεώρημα των τεμνομένων χορδών στον κύκλο $\left( A,O,P \right)$ θα ισχύει:

$MQ \cdot MP = MO \cdot MA \Rightarrow \left( {MP - a} \right) \cdot MP =$ $\dfrac{R}{2} \cdot \dfrac{{3R}}{2}\mathop \Rightarrow \limits^{MP > 0} \ldots \boxed{MP = \frac{{a + \sqrt {{a^2} + 3{R^2}} }}{2}}$

2. α) Από το Νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο $\vartriangle OPM$ θα έχουμε: $O{P^2} = M{P^2} + O{M^2} - 2MP \cdot OM\cos {60^0} \Leftrightarrow$

$M{P^2} - \dfrac{R}{2}MP - \dfrac{{3{R^2}}}{4} = 0 \Leftrightarrow$ $\ldots MP = \dfrac{{\frac{R}{2} + \dfrac{{R\sqrt {13} }}{2}}}{2} \Rightarrow$ $MP = \dfrac{{R\left( {1 + \sqrt {13} } \right)}}{4} \Rightarrow \dfrac{{a + \sqrt {{a^2} + 3{R^2}} }}{2} = \dfrac{{R\left( {1 + \sqrt {13} } \right)}}{4} \Leftrightarrow \ldots \boxed{a = \dfrac{R}{2}}$

β) Αν $AQ \bot PM\mathop \Rightarrow \limits^{A,O,Q,P\;o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha } PO \bot AB\mathop \Rightarrow \limits^{\Pi .\Theta }$ $MP = \dfrac{{R\sqrt 5 }}{2} \Rightarrow \dfrac{{a + \sqrt {{a^2} + 3{R^2}} }}{2} = \dfrac{{R\sqrt 5 }}{2}$

$\Leftrightarrow \ldots {\left( {\sqrt {{a^2} + 3{R^2}} } \right)^2} = {\left( {R\sqrt 5 - a} \right)^2}$ $\Leftrightarrow {a^2} + 3{R^2} = 5{R^2} - 2aR\sqrt 5 + {a^2} \Rightarrow \ldots \boxed{a = \dfrac{{R\sqrt 5 }}{5}}$

Στάθης

mathematica.gr

Στο ημικύκλιο

Στο ημικύκλιο

Re: Στο ημικύκλιο