Ελάχιστο εμβαδόν

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5624
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Ελάχιστο εμβαδόν

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από george visvikis » Παρ Απρ 21, 2017 11:39 am

min-area.png
min-area.png (9.25 KiB) Προβλήθηκε 329 φορές

Ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς a έχει τις κορυφές του D, E, Z πάνω στις πλευρές AB, BC, CA ορθογωνίου τριγώνου

ABC(\widehat A=90^0), έτσι ώστε \displaystyle{DE \bot AB}. Να βρείτε συναρτήσει του a τις πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου που έχει

το ελάχιστο εμβαδόν, καθώς και το εμβαδόν αυτό.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3685
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Ελάχιστο εμβαδόν

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Παρ Απρ 21, 2017 5:11 pm

george visvikis έγραψε:min-area.png
Ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς a έχει τις κορυφές του D, E, Z πάνω στις πλευρές AB, BC, CA ορθογωνίου τριγώνου ABC(\widehat A=90^0), έτσι ώστε \displaystyle{DE \bot AB}. Να βρείτε συναρτήσει του a τις πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου που έχει το ελάχιστο εμβαδόν, καθώς και το εμβαδόν αυτό.


Έστω \left( AB \right)=x,\left( AC \right)=y,\left( BC \right)=t και ας είναι F η ορθή προβολή του E στην AC. Τότε \left( {EF} \right) = \left( {AD} \right) = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} (ύψος ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς a).

Θα είναι \left( {ABC} \right) = \left( {AEB} \right) + \left( {AEC} \right) = \dfrac{1}{2}y\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} + \dfrac{1}{2}xa \Rightarrow \boxed{\left( {ABC} \right) = \dfrac{1}{4}a\left( {2x + y\sqrt 3 } \right)}:\left( 1 \right).
ελάχιστο εμβαδόν.png
ελάχιστο εμβαδόν.png (26.4 KiB) Προβλήθηκε 273 φορές

Προφανώς η μεγιστοποίηση του εμβαδού του \vartriangle ABC επιτυγχάνεται όταν μεγιστοποιηθεί η συνάρτηση f\left( x,y \right)=2x+y\sqrt{3}:\left( 2 \right)

Με ED\parallel AC \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{AB}} = \dfrac{{ED}}{{AC}} \Rightarrow \dfrac{{x - \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{x} = \dfrac{a}{y} \Rightarrow y = \dfrac{{ax}}{{x - \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 2 \right)}

f\left( {x,y} \right) = g\left( x \right) = k = 2x + \dfrac{{ax}}{{x - \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}\sqrt 3 \Leftrightarrow  \ldots \boxed{4{x^2} - 2kx + ak\sqrt 3  = 0}:\left( 3 \right).

Για να έχει η \left( 3 \right) ρίζες ως προς x πρέπει \Delta  \geqslant 0 \Leftrightarrow 4{k^2} - 16ak\sqrt 3  \geqslant 0\mathop  \Leftrightarrow \limits^{4k > 0}  \ldots \boxed{k \geqslant 4a\sqrt 3 } και συνεπώς η ελάχιστη τιμή του k

θα είναι 4a\sqrt{3} όταν \Delta =0 για την τιμή της διπλής ρίζας της εξίσωσης \left( 3 \right) , x=\dfrac{2\cdot 4a\sqrt{3}}{8}=a\sqrt{3} οπότε y=\dfrac{a\cdot a\sqrt{3}}{a\sqrt{3}-\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}=2a

(ή αλλιώς με D το μέσο της AB\Rightarrow AC=2AF=2a και από Πυθαγόρειο θεώρημα θα είναι t=\sqrt{4{{a}^{2}}+3{{a}^{2}}}=a\sqrt{7} ,

το δε ελάχιστο εμβαδόν είναι {\left( {ABC} \right)_{\min }} = \dfrac{1}{4}a{k_{\min }} = \dfrac{1}{4}a \cdot 4a\sqrt 3  \Rightarrow \boxed{{{\left( {ABC} \right)}_{\min }} = {a^2}\sqrt 3 } και όλα τα ζητούμενα έχουν υπολογιστεί.


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5044
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Ελάχιστο εμβαδόν

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από S.E.Louridas » Παρ Απρ 21, 2017 7:57 pm

Γεια χαρά στους Άριστους Γεωμέτρες αλλά και φίλους Γιώργο και Στάθη με όλες τις ευχές μου λόγω των ημερών.

Μία διαπραγμάτευση:
Ας θεωρήσουμε ότι κατά τη κίνηση της BC, έχουμε AC\leqslant AB. Αν K το συμμετρικό του A ως προς το E και θεωρήσουμε KM \bot AB, τότε επί της ουσίας είναι καθαρό ότι ζητάμε το ελάχιστο εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου LMB, που προφανώς είναι μηδέν. Αλλά τότε έχουμε τη ταύτιση των σημείων B,\;M, οπότε AD=DB και έτσι στη περίπτωση αυτή άμεσα διαπιστώνουμε ότι AB=a\sqrt{3}, AC=2a και βέβαια το ζητούμενο εμβαδόν είναι {a^2}\sqrt 3 .


(*) Η μέθοδος αυτή επίλυσης λειτουργεί ακριβώς το ίδιο και στο ευρύτερο πρόβλημα:
Δίδεται γωνία xOy και σημείο E εντός αυτής. Θεωρούμε τυχούσα ευθεία l διερχόμενη από το E που τέμνει τις Ox,Oy στα σημεία A,B, αντίστοιχα. Βρείτε τη θέση της ευθείας l που το εμβαδόν του τριγώνου OAB γίνεται ελάχιστο.
Συνημμένα
sx.1.png
sx.1.png (36.79 KiB) Προβλήθηκε 241 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5044
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Ελάχιστο εμβαδόν

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από S.E.Louridas » Σάβ Απρ 22, 2017 9:11 am

S.E.Louridas έγραψε:Γεια χαρά στους Άριστους Γεωμέτρες αλλά και φίλους Γιώργο και Στάθη με όλες τις ευχές μου λόγω των ημερών.
Μία διαπραγμάτευση:
Ας θεωρήσουμε ότι κατά τη κίνηση της BC, έχουμε AC\leqslant AB. Αν K το συμμετρικό του A ως προς το E και θεωρήσουμε KM \bot AB, τότε επί της ουσίας είναι καθαρό ότι ζητάμε το ελάχιστο εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου LMB, που προφανώς είναι μηδέν. Αλλά τότε έχουμε τη ταύτιση των σημείων B,\;M, οπότε AD=DB και έτσι στη περίπτωση αυτή άμεσα διαπιστώνουμε ότι AB=a\sqrt{3}, AC=2a και βέβαια το ζητούμενο εμβαδόν είναι {a^2}\sqrt 3 .


(*) Η μέθοδος αυτή επίλυσης λειτουργεί ακριβώς το ίδιο και στο ευρύτερο πρόβλημα:
Δίδεται γωνία xOy και σημείο E εντός αυτής. Θεωρούμε τυχούσα ευθεία l διερχόμενη από το E που τέμνει τις Ox,Oy στα σημεία A,B, αντίστοιχα. Βρείτε τη θέση της ευθείας l που το εμβαδόν του τριγώνου OAB γίνεται ελάχιστο.

Καλημέρα.
Απλά επανέρχομαι για να πω ότι το ίδιο αλλά από την άλλη μεριά θα εργαζόμασταν αν είχαμε AB\leq AC. Αυτό επειδή τελικά η θέση για το ελάχιστο εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου ABC καθορίζεται από το παραλληλόγραμμο (ορθογώνιο) AMKM'.

(*) Παραθέτω το σχήμα (χωρίς γράμματα) του ευρύτερου προβλήματος στο οποίο αναφέρθηκα, για να ασχοληθούν οι ενδιαφερόμενοι:
Δίδεται γωνία xOy και σημείο E εντός αυτής. Θεωρούμε τυχούσα ευθεία l διερχόμενη από το E που τέμνει τις Ox,Oy στα σημεία A,B, αντίστοιχα. Βρείτε τη θέση της ευθείας l που το εμβαδόν του τριγώνου OAB γίνεται ελάχιστο.
Συνημμένα
geogebra-export.png
geogebra-export.png (30.05 KiB) Προβλήθηκε 187 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης