Αναπάντεχα σταθερός λόγος

#1

: Αναπάντεχα σταθερός λόγος.png (19.29 KiB) Προβλήθηκε 678 φορές

Τα

είναι σταθερά σημεία ενός κύκλου (C_1),

το

είναι μεταβλητό σημείο του ίδιου κύκλου,

είναι το ορθόκεντρο

του τριγώνου ABC, D

το μέσο του τόξου $\overset\frown{BC}$ που δεν περιέχει το

ενώ η

επανατέμνει τον (C_1)

στο

Έστω

ο περίκυκλος του τριγώνου AKH.

Η εφαπτομένη του (C_2)

στο

τέμνει την

στο

και τον κύκλο (C_1)

ξανά στο

Να δείξετε ότι ο λόγος $\dfrac{MA}{MN}$ είναι σταθερός.

#2

george visvikis έγραψε:Αναπάντεχα σταθερός λόγος.png
Τα είναι σταθερά σημεία ενός κύκλου το είναι μεταβλητό σημείο του ίδιου κύκλου, είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου το μέσο του τόξου $\overset\frown{BC}$ που δεν περιέχει το ενώ η επανατέμνει τον στο Έστω ο περίκυκλος του τριγώνου Η εφαπτομένη του στο τέμνει την στο και τον κύκλο ξανά στο
Να δείξετε ότι ο λόγος $\dfrac{MA}{MN}$ είναι σταθερός.

$\bullet$ Έστω το ίχνος του ύψους εκ του του $\vartriangle ABC$ και $F\equiv DM\cap BC$ .

Τότε $\angle MAK\mathop = \limits^{\upsilon \pi o\;\chi o\rho \delta \eta \varsigma \;\kappa \alpha \iota \;\varepsilon \varphi \alpha \pi \tau o\mu \varepsilon \nu \eta \varsigma \;\tau o\upsilon \;\left( {{C_2}} \right)} \angle AHK\mathop = \limits^{\kappa \alpha \tau \alpha \kappa o\rho \upsilon \varphi \eta \nu } \angle EHF:\left( 1 \right)$ .

Επίσης $\angle KAD\mathop = \limits^{\varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu \eta \;\tau o\upsilon \;\left( {{C_1}} \right)} \dfrac{{\tau o\xi .KBD}}{2} = \dfrac{{\tau o\xi .KB + \tau o\xi .BD}}{2}$

$\mathop = \limits^{\tau o\xi .BD = \tau o\xi .DC} \dfrac{{\tau o\xi .KB + \tau o\xi .DC}}{2}\mathop = \limits^{\gamma \omega \nu \iota \alpha \;\tau \varepsilon \mu \nu o\mu \varepsilon \nu \omega \nu \;\chi o\rho \delta \omega \nu } \angle KFB \equiv \angle HFB:$ $\left( 2 \right)$ .
[attachment=0]Αναπάντεχα σταθερός λόγος.png[/attachment]
$\bullet$ Από $\left( 1 \right) + \left( 2 \right) \Rightarrow \angle MAK + \angle KAD = \angle EHF + \angle HFE$ $\mathop = \limits^{\vartriangle HEF\left( {\angle HEF = {{90}^0}} \right)} {90^0} \Rightarrow \angle MAD = {90^0} \Rightarrow \angle DAN = {90^0} \Rightarrow DN$

διάμετρος του κύκλου $\left( {{C_1}} \right)$ και με το μέσο του τόξου $BC \Rightarrow DN \bot BC\mathop \Rightarrow \limits^{AH \bot BC} \boxed{AH\parallel DB}:\left( 3 \right)$ .

Από τη σχέση $\left( 3 \right)$ στο τρίγωνο $\vartriangle MDN \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{MN}} = \dfrac{{HA}}{{DN}}$ $\mathop = \limits^{HA = 2\left( {OP} \right) = 2d = ct(\gamma \nu \omega \sigma \tau \eta \;\pi \rho o\tau \alpha \sigma \eta ),DN = 2R = ct} \dfrac{{2d}}{{2R}} = \dfrac{d}{R} \Rightarrow$

$\dfrac{{MA}}{{MN - MA}} = \dfrac{d}{{R - d}} \Rightarrow \boxed{\dfrac{{MA}}{{NA}} = \dfrac{d}{{R - d}} = ct}$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

Αναπάντεχα σταθερός λόγος

Αναπάντεχα σταθερός λόγος

Re: Αναπάντεχα σταθερός λόγος

Μέλη σε σύνδεση