Σταθερό κινητό

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8681
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Σταθερό κινητό

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από KARKAR » Πέμ Μάιος 18, 2017 7:56 pm

Σταθερό  κινητό.png
Σταθερό κινητό.png (14.69 KiB) Προβλήθηκε 265 φορές
Η χορδή SP έχει σταθερό μήκος και κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου AB .

Δείξτε ότι το άθροισμα (ASP)+(BSP) παραμένει σταθερό .



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9359
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σταθερό κινητό

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Mihalis_Lambrou » Πέμ Μάιος 18, 2017 8:17 pm

KARKAR έγραψε:Η χορδή SP έχει σταθερό μήκος και κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου AB .

Δείξτε ότι το άθροισμα (ASP)+(BSP) παραμένει σταθερό .


Αφού το άθροισμα των εμβαδών είναι AS\cdot AP \sin \theta + BS \cdot BP \sin \theta (όπου \theta η σταθερή γωνία στο SP ) αρκεί να δείξουμε AS\cdot AP + BS \cdot BP σταθερό.

Από τον νόμο των συνημιτόνων στα χρωματιστά τρίγωνα έχουμε

SP ^2 = AS^2 + AP^2 - AS\cdot AP \cos \theta
SP ^2 = BS^2 + BP^2 - BS\cdot BP \cos \theta

Με πρόσθεση κατά μέλη και από το Πυθαγόρειο AS^2 +BS^2 = AB^2= AP^2  + BP^2
έπεται το ζητούμενο.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1123
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Σταθερό κινητό

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από Μιχάλης Τσουρακάκης » Πέμ Μάιος 18, 2017 9:24 pm

KARKAR έγραψε:Σταθερό κινητό.pngΗ χορδή SP έχει σταθερό μήκος και κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου AB .

Δείξτε ότι το άθροισμα (ASP)+(BSP) παραμένει σταθερό .


\displaystyle{2\left( {ASP} \right) + 2\left( {SPB} \right) = SP \cdot AQ + SP \cdot BT = SP\left( {AQ + BT} \right) = 2SP \cdot OM = ct}
sk.png
sk.png (9.18 KiB) Προβλήθηκε 230 φορές


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7292
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Σταθερό κινητό

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από Demetres » Παρ Μάιος 19, 2017 9:21 am

Mihalis_Lambrou έγραψε: αρκεί να δείξουμε AS\cdot AP + BS \cdot BP σταθερό.


Έστω P' το αντιδιαμετρικό του P. Τότε αρκεί να δείξουμε ότι

\displaystyle{ (AS)(BP') + (BS)(AP')}

σταθερό.

Από το θεώρημα του Πτολεμαίου αυτό είναι ισοδύναμο με το να δείξουμε ότι το (AB)(SP') είναι σταθερό. Όμως (AB) = 2R και (SP') = \sqrt{(2R)^2 - (SP)^2} όπου R η ακτίνα του κύκλου.



Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες