Έξυπνη ανισότητα

KARKAR · #1

: Έξυπνη ανισότητα.png (9.85 KiB) Προβλήθηκε 1059 φορές

Το

είναι το μέσο του κυρτογώνιου κυκλικού τόξου $\displaystyle \overset{\frown}{AB}$ και το

τυχόν σημείο του ,

διαφορετκό του

. Δείξτε ότι ισχύει : SA+SB

<

.

Πρόσθεσα το σχήμα και μια διευκρίνιση , αναμένω διάφορες λύσεις ...

#2

KARKAR έγραψε:Το είναι το μέσο του κυρτογώνιου τόξου $\displaystyle \overset{\frown}{AB}$ και το τυχόν σημείο του ,

διαφορετκό του . Δείξτε ότι ισχύει : < .

Θανάση, υποθέτω ότι εννοείς "τόξο κύκλου" και όχι "κυρτό τόξο καμπύλης".

Για κύκλο ακτίνας

, από τον Nόμο των ημιτόνων και την Jensen (στην απλή της μορφή) αν οι χορδές SA, SB

αντιστοιχούν σε επίκεντρες $\theta, \phi$ έχουμε

$(SA+SB)/2 = (2R\sin \theta + 2R \sin \phi ) /2 < 2R \sin ((\theta +\phi )/2)$
= MA = (MA+MB)/2

Υπόψη ότι η ανισότητα δεν ισχύει για γενικό κυρτό τόξοα καμπύλης: Στο παρακάτω σχήμα στρογγυλεύουμε λίγο την τεθλασμένα γραμμή AMSB

ώστε να γίνει καμπύλο. Είναι MA + MB < MA + (MS + SB) = AS+SB

#3

Κλασσικό πρόβλημα και η απόδειξη που ακολουθεί, έρχεται από το παρελθόν ( βιβλιογραφία ).

Έστω ότι το σημείο

κείται μεταξύ των $A,\ M$ και έστω το σημείο $N\equiv AB\cap OM,$ όπου

είναι το κέντρο του κύκλου (O),

που περιέχει το δοσμένο τόξο $\overset\frown{AB}.$

$\bullet$ Mε κέντρο το σημείο

και ακτίνα MA = MB,

γράφουμε τον κύκλο έστω (M)

και έστω τα σημεία $C\equiv (M)\cap BM$ και $D\equiv (M)\cap BS.$

Το τρίγωνο $\vartriangle ABC$ είναι ορθογώνιο με $\angle A = 90^{o},$ λόγω MA = MB = MC

και επομένως, η

είναι διάμετρος του κύκλου (M).

Ισχύει $BC>BD\Rightarrow$ $MB + MC > SB + SD\Rightarrow$ $\boxed{MA + MB > SA + SB}$ γιατί και το τρίγωνο $\vartriangle SAD$ είναι ισοσκελές, από $\angle ADB = \angle ACB$ και $\angle ASB = \angle AMB$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας

nikkru · #4

KARKAR έγραψε:Έξυπνη ανισότητα.pngΤο είναι το μέσο του κυρτογώνιου κυκλικού τόξου $\displaystyle \overset{\frown}{AB}$ και το τυχόν σημείο του ,

διαφορετκό του . Δείξτε ότι ισχύει : < .

Πρόσθεσα το σχήμα και μια διευκρίνιση , αναμένω διάφορες λύσεις ...

: Έξυπνη ανισότητα.png (13.46 KiB) Προβλήθηκε 1040 φορές

Ας ονομάσουμε

το σημείο τομής των προεκτάσεων των AS, BM

. Τα

ύψη του τριγώνου ABN

, άρα και $NK\perp AB$ .
Τότε, στο ορθογώνιο τρίγωνο NBP

είναι $M\widehat{B}P=45^{o}=K\widehat{N}B$ άρα MK=MN

.

Από τα προηγούμενα έχουμε: AM+MB=AK+KM+MB=AK+NM+MB=AK+NB

και από τα
ορθογώνια τρίγωνα ASK,BSN

είναι

οπότε,

.

KARKAR · #5

: Λύση - Απόλαυση

(Αλλά μόνο για την περίπτωση που η

είναι διάμετρος )

#6

: Έξυπνη ανισότητα.png (16.81 KiB) Προβλήθηκε 968 φορές

$\displaystyle{BH < MB \Leftrightarrow \frac{{SA + SB}}{2} < MB}$ (θεώρημα σπασμένης χορδής εδώ), απ' όπου προκύπτει το ζητούμενο.

#7

george visvikis έγραψε:Έξυπνη ανισότητα.png
$\displaystyle{BH < MB \Leftrightarrow \frac{{SA + SB}}{2} < MB}$ (θεώρημα σπασμένης χορδής εδώ), απ' όπου προκύπτει το ζητούμενο.

Εδώ

Έξυπνη ανισότητα

Έξυπνη ανισότητα

Re: Έξυπνη ανισότητα

Re: Έξυπνη ανισότητα

Re: Έξυπνη ανισότητα

Re: Έξυπνη ανισότητα

Re: Έξυπνη ανισότητα

Re: Έξυπνη ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση