Χορδές σε σχέση με την ακτίνα

sakis1963 · #1

: GEOMETRIA186.png (25.8 KiB) Προβλήθηκε 1074 φορές

Σε κύκλο

παίρνουμε διαδοχικές χορδές AB, BC

τέτοιες ώστε :

α. το σημείο Nagel

, του τριγώνου OAB

να ανήκει στον έγκυκλο του OAB

και

β. το βαρύκεντρο

, του τριγώνου OBC

να ανήκει στον έγκυκλο του OBC

Δείξτε οτι : $\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{BC}=\dfrac{4}{R}$

#2

sakis1963 έγραψε:GEOMETRIA186.png
Σε κύκλο παίρνουμε διαδοχικές χορδές τέτοιες ώστε :
α. το σημείο Nagel , του τριγώνου να ανήκει στον έγκυκλο του και
β. το βαρύκεντρο , του τριγώνου να ανήκει στον έγκυκλο του
Δείξτε οτι : $\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{BC}=\dfrac{4}{R}$

"Γέρασε" αυτό το θέμα Θανάση! . Μιας και θα συναντηθείς με τους ΓΙΓΑΝΤΕΣ αύριο για να τους δώσεις χαιρετισμούς ας δούμε και μια προσέγγιση.

Για το σημείο Nagel

, το βαρύκεντρο

και το έγκεντρο

του τριγώνου $\vartriangle OAB$ είναι γνωστό εδώ ότι είναι συνευθειακά και ισχύει

$KN = 2KI \Rightarrow NI = \dfrac{3}{2}KI \Rightarrow NI = \dfrac{3}{2}\left( {KM - IM} \right) \Rightarrow$ $\dfrac{{NM}}{2} = \dfrac{3}{2}\left( {\dfrac{{AM}}{3} - \dfrac{{NM}}{2}} \right) \Rightarrow \ldots NM = \dfrac{{OM}}{2}$ $\Rightarrow \boxed{IN = \dfrac{1}{3}IO}:\left( 1 \right)$ .
[attachment=0]Χορδές σε σχέση με την ακτίνα.png[/attachment]
Επίσης ισχύει: $NE\parallel IB$ (κάθετες στην ) άρα από το Θ. Θαλή ισχύει

$NE\parallel IB \Rightarrow \dfrac{{EB}}{{OB}} = \dfrac{{NI}}{{IO}}\mathop = \limits^{\left( 1 \right)} \dfrac{1}{3}$ $\mathop \Rightarrow \limits^{EB = MB = \frac{{AB}}{2}} \dfrac{{\dfrac{{AB}}{2}}}{R} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \boxed{AB = \dfrac{{2R}}{3}}$ .

Για το βαρύκεντρο

του τριγώνου $\vartriangle OBC$ ισχύει: $\dfrac{{OG}}{{GT}} = 2 \Rightarrow \dfrac{{OG}}{{2GJ}} = 2 \Rightarrow \dfrac{{GJ}}{{OG}} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow \boxed{\dfrac{{GJ}}{{OJ}} = \dfrac{1}{5}}:\left( 2 \right)$ .

. Αλλά ομοίως ισχύει: $ZG\parallel CJ$ (κάθετες στην ) οποτε από το Θ. Θαλή θα ισχύει :

$\dfrac{{ZC}}{{OC}} = \dfrac{{GJ}}{{OJ}}\mathop = \limits^{\left( 2 \right)} \dfrac{1}{4}\mathop \Rightarrow \limits^{ZC = CT = \frac{{BC}}{2}} \dfrac{{\dfrac{{BC}}{2}}}{R} = \dfrac{1}{5} \Rightarrow \boxed{BC = \dfrac{{2R}}{5}}$ .

Έτσι $\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{BC}=\dfrac{3}{2R}+\dfrac{5}{2R}=\dfrac{8}{2R}=\dfrac{4}{R}$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Χορδές σε σχέση με την ακτίνα

Χορδές σε σχέση με την ακτίνα

Re: Χορδές σε σχέση με την ακτίνα

Μέλη σε σύνδεση