Εφαπτομένη χωρίς τριγωνομετρία

KARKAR · #1

: Εφαπτομένη χωρίς τριγωνομετρία.png (9.46 KiB) Προβλήθηκε 713 φορές

Στο ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle ABC , (AB=AC)$ , η μεσοκάθετη της

εφάπτεται του ημικυκλίου διαμέτρου

. Υπολογίστε την $\epsilon\phi \widehat{B}$ .

nikkru · #2

KARKAR έγραψε:Εφαπτομένη χωρίς τριγωνομετρία.pngΣτο ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle ABC , (AB=AC)$ , η μεσοκάθετη της

εφάπτεται του ημικυκλίου διαμέτρου . Υπολογίστε την $\epsilon\phi \widehat{B}$ .

: Εφαπτομένη χωρίς τριγωνομετρία.png (14 KiB) Προβλήθηκε 675 φορές

Ας είναι

. Τα τρίγωνα ABE,KES

είναι ίσα και τα SEK, MBK

είναι όμοια.

Οπότε: $\displaystyle \frac{SE}{EK}=\frac{MB}{BK}\Leftrightarrow \frac{a}{2b}=\frac{b}{2b+a}$ δηλαδή $\displaystyle b=\frac{1+\sqrt{3}}{2}a$ .

Από το Π.Θ. στο ορθ. τρίγωνο ABE

προκύπτει ότι $AE=a \sqrt{3+2\sqrt{3}}$ .

Έτσι, $\boxed{ \epsilon\phi \widehat{B}=\frac{AE}{BE}=\sqrt{3+2\sqrt{3}}}$ .

#3

Μια παρεμφερή λύση

: χωρίς τριγωνομετρία_ εφαπτομένη γωνίας.png (32.79 KiB) Προβλήθηκε 656 φορές

Για την κατασκευή σχήματος ακριβείας

$\boxed{y = KC = \frac{{3 - \sqrt 3 }}{2}R}$

Σε λίγο και τα λόγια

Η πιο πάνω λύση είναι πολύ πιο απλή από τη δική μου αλλά επειδή έβαλα σχήμα γράφω και δυο λόγια.

Αν K,M

οι προβολές του

στις $BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BA$ , ενώ η

κόψει την

στο

και

το ημικύκλιο τις AB,AC

στα

, το τρίγωνο BCZ

είναι ισοσκελές και η

διχοτόμος , ύψος και διάμεσός του. Θέτω $KC = y\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EC = u$ . Εύκολα έχω :

$\left\{ \begin{gathered} EC = DB = ZA = u \hfill \\ KC = MZ = MD = y \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Αν

το κέντρο του ημικυκλίου

Από την ομοιότητα των τριγώνων $ABO\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BCE$ έχω :

$\dfrac{u}{{2R}} = \dfrac{R}{{2(R + u)}} \Leftrightarrow \dfrac{u}{R} = \dfrac{R}{{R + u}}\,\,(1)$ ενώ προφανώς $2R = 2y + u\,\,(2)$ . Από τις (1),(2)

Βρίσκω τα

οπότε ο λόγος που ζητώ $\dfrac{{BE}}{{EC}}$ υπολογίζεται απλά .

#4

Η κατασκευή του σχήματος ανάγεται στην παρακάτω:

Σε ημικύκλιο διαμέτρου να εγγραφεί ισοσκελές τραπέζιο ώστε $BD=CE=\dfrac{DE}{2}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε:Εφαπτομένη χωρίς τριγωνομετρία.pngΣτο ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle ABC , (AB=AC)$ , η μεσοκάθετη της

εφάπτεται του ημικυκλίου διαμέτρου . Υπολογίστε την $\epsilon\phi \widehat{B}$ .

Άλλη μια λύση...πιο μπελαλίδικη

Από την προφανή ισότητα των κόκκινων γωνιών , $\displaystyle{\vartriangle AMS \simeq \vartriangle SBC \Rightarrow \frac{{\frac{b}{2}}}{{BS}} = \frac{{AS}}{\alpha } \Rightarrow \boxed{B{S^2} = \frac{{ab}}{2}}}$

Ο κύκλος $\displaystyle{Euler}$ του $\displaystyle{\vartriangle ABC}$ εφάπτεται της $\displaystyle{BC \Rightarrow \frac{{{\alpha ^2}}}{4} = BD \cdot \frac{b}{2} \Rightarrow BD = \frac{{{a^2}}}{{2b}} \Rightarrow MD = \frac{b}{2} - \frac{{{a^2}}}{{2b}} = \frac{{{b^2} - {a^2}}}{{2b}}}$

$\displaystyle{M{S^2} = MD \cdot MB = \frac{{{b^2} - {a^2}}}{{2b}} \cdot \frac{b}{2} \Rightarrow \boxed{M{S^2} = \frac{{{b^2} - {a^2}}}{4}}}$

Με Π.Θ στο $\displaystyle{\vartriangle MBS \Rightarrow \frac{{{b^2} - {a^2}}}{4} + \frac{{{b^2}}}{4} = \frac{{ab}}{2} \Rightarrow 2{m^2} - 2m - 1 = 0 \Rightarrow \boxed{m = \frac{b}{\alpha } = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}}}$

Με Π.Θ στο $\displaystyle{\vartriangle ABE \Rightarrow AE = \frac{{\alpha \sqrt {3 +2 \sqrt 3 } }}{2} \Rightarrow \boxed{\tan B = \frac{{AE}}{{BE}} = \sqrt {3 + 2\sqrt 3 } }}$ ( $\displaystyle{AE}$ είναι το ύψος του $\displaystyle{\vartriangle ABC}$ )

: xt.png (22.21 KiB) Προβλήθηκε 594 φορές

#6

και μία με αναλυτική...
Θεωρούμε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων xOy

όπου Ο το μέσο της $B\Gamma$ ,
$A(0,\alpha ), \alpha >0$ , $\Gamma (\beta ,0),\beta >0$ και $B(-\beta ,0)$ .
Τότε το μέσο της

είναι $M\left ( -\frac{\beta }{2},\frac{\alpha }{2} \right )$ και η εφαπτομένη
που ζητάμε είναι $\varepsilon \varphi B=\frac{\alpha }{\beta }$ .
Η ευθεία

έχει εξίσωση $(AB):\frac{x}{-\beta }+\frac{y}{\alpha }=1$ και $\lambda _{AB}=\frac{\alpha }{\beta }$ .
Η ευθεία

είναι κάθετη την

, και έχει εξίσωση $(MS):2\beta x+2\alpha y-\alpha ^{2}+\beta ^2=0$ .
H

εφάπτεται στον κύκλο με κέντρο O(0,0)

και ακτίνα $\beta$ , άρα
$d\left ( O,(MS) \right )=\frac{\left | -\alpha ^2+\beta ^2 \right |}{\sqrt{4\alpha ^2+4\beta ^2}}=\beta \Leftrightarrow \alpha ^4-6\alpha ^2\beta ^2-3\beta ^4=0 \Leftrightarrow$ $\left ( \frac{\alpha }{\beta } \right )^4-6\left (\frac{\alpha }{\beta } \right )^2-3=0$ .
Αν θέσουμε $\varepsilon \varphi ^2B=\frac{\alpha ^2}{\beta ^2}=t>0$ καταλήγουμε $t^2-6t+9=12\Leftrightarrow t-3=+2\sqrt{3\Leftrightarrow}\Leftrightarrow t=3+2\sqrt{3}$
άρα $\varepsilon \varphi B=\sqrt{3+2\sqrt{3}}$

Εφαπτομένη χωρίς τριγωνομετρία

Εφαπτομένη χωρίς τριγωνομετρία

Re: Εφαπτομένη χωρίς τριγωνομετρία

Re: Εφαπτομένη χωρίς τριγωνομετρία

Re: Εφαπτομένη χωρίς τριγωνομετρία

Re: Εφαπτομένη χωρίς τριγωνομετρία

Re: Εφαπτομένη χωρίς τριγωνομετρία

Μέλη σε σύνδεση