Ελάχιστο εμβαδόν τραπεζίου

KARKAR · #1

: Ελάχιστο τραπέζιο.png (11.49 KiB) Προβλήθηκε 666 φορές

Το τμήμα το οποίο συνδέει το μέσο

της μιας - σταθερής - μη παράλληλης πλευράς

,

τραπεζίου ABCD

με την κορυφή

, είναι κάθετο στην άλλη - μεταβλητή - πλευρά

.

Υπολογίστε το ελάχιστο εμβαδόν του ABCD

.

nikkru · #2

KARKAR έγραψε:Ελάχιστο τραπέζιο.pngΤο τμήμα το οποίο συνδέει το μέσο της μιας - σταθερής - μη παράλληλης πλευράς ,

τραπεζίου με την κορυφή , είναι κάθετο στην άλλη - μεταβλητή - πλευρά .

Υπολογίστε το ελάχιστο εμβαδόν του .

Α. Με αναλυτική γεωμετρία

: Ελάχιστο εμβαδόν τραπεζίου.png (8.29 KiB) Προβλήθηκε 653 φορές

Αν η ευθεία

έχει κλίση $0<\lambda<\frac{5}{2}$ τότε $MD: y-2,5=\lambda (x+1)$ και το σημείο

έχει συντεταγμένες $\left (\frac{5}{2\lambda }-1 , 5 \right )$ .

Αφού $DC\perp MD$ είναι: $DC: y-5=\frac{1}{\lambda }\left ( x-\frac{5}{2\lambda }+1 \right )$ και $C\left ( 5\lambda -1+\frac{5}{2\lambda } \right )$ .

Από τα παραπάνω έχουμε: $\displaystyle{ \left ( ABCD \right )=\frac{\left ( 5\lambda -1+\frac{5}{2\lambda}+2+\frac{5}{2\lambda}-1 \right )5 }{2}=\frac{25}{2}\left ( \lambda +\frac{1}{\lambda } \right )}$ .

Αφού για $0<\lambda<2,5$ είναι $\lambda +\frac{1}{\lambda }\geq 2$ , άρα η ελάχιστη τιμή του εμβαδού του τραπεζίου είναι 25 (για $\lambda=1$ ).

Β. Με γεωμετρία

: Ελάχιστο εμβαδόν τραπεζίου2.png (86.73 KiB) Προβλήθηκε 653 φορές

Τα εμβαδά των μπλε τριγώνων είναι ίσα, οπότε $\left ( ABCD \right )=\left ( DCN \right )$ το οποίο είναι ορθογώνιο τρίγωνο
με σταθερό ύψος προς την υποτείνουσα ίσο με

και γίνεται ελάχιστο όταν γίνει και ισοσκελές.
Άρα η ελάχιστη τιμή του είναι $(ABCD)=(DCN)=\upsilon ^2=25$ .

mikemoke · #3

KARKAR έγραψε:Ελάχιστο τραπέζιο.pngΤο τμήμα το οποίο συνδέει το μέσο της μιας - σταθερής - μη παράλληλης πλευράς ,

τραπεζίου με την κορυφή , είναι κάθετο στην άλλη - μεταβλητή - πλευρά .

Υπολογίστε το ελάχιστο εμβαδόν του .

To πρόβλημα ανάγεται στο εξής :
Έστω ευθείες παράλληλες μεταξύ τους e,h

Σε

θεωρούμε

σταθερό σημείο
Ψάχνουμε κύκλο με κέντρο επι της

που τέμνει την

και με την ελάχιστη ακτίνα
Προφανές αυτό γίνεται όταν ο κύκλος εφάπτεται της

KARKAR · #4

mikemoke έγραψε: To πρόβλημα ανάγεται στο εξής :
Έστω ευθείες παράλληλες μεταξύ τους
Σε θεωρούμε σταθερό σημείο
Ψάχνουμε κύκλο με κέντρο επι της που τέμνει την και με την ελάχιστη ακτίνα
Προφανές αυτό γίνεται όταν ο κύκλος εφάπτεται της

mike : Θα ήθελες να γίνεις πιο σαφής ; Δεν κατάλαβα ποιες κινήσεις κάνεις

για να λύσεις το τεθέν πρόβλημα ...

#5

KARKAR έγραψε:Ελάχιστο τραπέζιο.pngΤο τμήμα το οποίο συνδέει το μέσο της μιας - σταθερής - μη παράλληλης πλευράς ,

τραπεζίου με την κορυφή , είναι κάθετο στην άλλη - μεταβλητή - πλευρά .

Υπολογίστε το ελάχιστο εμβαδόν του .

: Min-area-trapezoid.png (10.99 KiB) Προβλήθηκε 596 φορές

Έστω

η διάμεσος του τραπεζίου και DP, DH

η διάμεσος και το ύψος αντίστοιχα, του τριγώνου DMN.

$\boxed{(ABCD)=5MN}$ Αλλά, $\displaystyle{DP \ge DH \Leftrightarrow MN \ge 5 \Rightarrow (ABCD) \ge 25}.$ Άρα $\boxed{{(ABCD)_{\min }} = 25}$

όταν το τρίγωνο DMN

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

Επιπλέον πληροφορίες: Στην περίπτωση του ελάχιστου εμβαδού είναι $\displaystyle{AD = \frac{3}{2},AB = \sqrt {29} ,AC = \frac{{17}}{2},DC = 5\sqrt 2 }$

mikemoke · #6

KARKAR έγραψε:
mikemoke έγραψε: To πρόβλημα ανάγεται στο εξής :
Έστω ευθείες παράλληλες μεταξύ τους
Σε θεωρούμε σταθερό σημείο
Ψάχνουμε κύκλο με κέντρο επι της που τέμνει την και με την ελάχιστη ακτίνα
Προφανές αυτό γίνεται όταν ο κύκλος εφάπτεται της
mike : Θα ήθελες να γίνεις πιο σαφής ; Δεν κατάλαβα ποιες κινήσεις κάνεις

για να λύσεις το τεθέν πρόβλημα ...

Στην συγκεκριμένη περίπτωση οι e,h

είναι οι ευθείες που διέρχονται από M,A

αντίστοιχα και είναι παράλληλες με τον x'x

Ψαχνουμε τον κύκλο με την ελάχιστη ακτίνα γιατί η διάμετρός του ταυτίζεται με την διαμεσο του τραπεζίου

KARKAR · #7

: Ελάχιστο τραπέζιο.png (12.29 KiB) Προβλήθηκε 576 φορές

mikemoke έγραψε: Στην συγκεκριμένη περίπτωση οι είναι οι ευθείες που διέρχονται από αντίστοιχα και είναι παράλληλες με τον
Ψαχνουμε τον κύκλο με την ελάχιστη ακτίνα γιατί η διάμετρός του ταυτίζεται με την μεσοπαράλληλη του τραπεζίου

Τώρα μάλιστα

( Πάντως η

λέγεται διάμεσος )

Ελάχιστο εμβαδόν τραπεζίου

Ελάχιστο εμβαδόν τραπεζίου

Re: Ελάχιστο εμβαδόν τραπεζίου

Re: Ελάχιστο εμβαδόν τραπεζίου

Re: Ελάχιστο εμβαδόν τραπεζίου

Re: Ελάχιστο εμβαδόν τραπεζίου

Re: Ελάχιστο εμβαδόν τραπεζίου

Re: Ελάχιστο εμβαδόν τραπεζίου

Μέλη σε σύνδεση