Ίσα σκέλη σε σκαληνό

KARKAR · #1

: Ίσα σκέλη.png (20.1 KiB) Προβλήθηκε 661 φορές

Στο σκαληνό και οξυγώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , τα ύψη BE,CD

, τέμνουν τους κύκλους

με διαμέτρους τις πλευρές AC,AB

στα σημεία S,P

αντίστοιχα .

α) Δείξτε ότι AS=AP

...β) Αν είναι γνωστές οι $\hat{B},\hat{C}$ , υπολογίζεται η $\widehat{SAP}$ ;

nikkru · #2

KARKAR έγραψε:Ίσα σκέλη.pngΣτο σκαληνό και οξυγώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , τα ύψη , τέμνουν τους κύκλους

με διαμέτρους τις πλευρές στα σημεία αντίστοιχα .

α) Δείξτε ότι ...β) Αν είναι γνωστές οι $\hat{B},\hat{C}$ , υπολογίζεται η $\widehat{SAP}$ ;

Για το α)

: ίσα σκέλη σε σκαληνό.png (23.16 KiB) Προβλήθηκε 638 φορές

Στα ορθογώνια τρίγωνα ABP,ASC

ισχύουν: $AP^2=AB \cdot AD$ και $AS^2=AC\cdot AE$ .

Αφού $\widehat{BDC}=\widehat{BEC}$ το τετράπλευρο BCED

είναι εγγράψιμο, οπότε $AB \cdot AD=AC\cdot AE$ , έτσι, AP=AS

.

#3

Αλλιώς για το πρώτο ερώτημα:

: ισα σκέλη σε σκαληνό_a.png (32.47 KiB) Προβλήθηκε 616 φορές

Θέτω : $\boxed{AP = x\,\,,\,\,AS = y\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PB = u\,\,,\,\,SC = v}$

Επειδή $AB \bot CD$ από τη συνθήκη καθετότητας έχω : $C{A^2} - C{B^2} = P{A^2} - P{B^2}$ αλλά

από το Π. Θ. στο $\vartriangle PAB$ έχω : $P{B^2} = A{B^2} - A{P^2}$ . Από τις σχέσεις αυτές έχω :

$\boxed{{x^2} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{2}}$ . Ομοίως από τη καθετότητα $AC \bot BE$ και το $\vartriangle SAC$ έχω :

${v^2} - {y^2} = {a^2} - {c^2} \Rightarrow {b^2} - 2{y^2} = {a^2} - {c^2}$ και άρα :

$\boxed{{y^2} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{2}}$ . Συνεπώς $\boxed{x = y = \sqrt {\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{2}} }$ .

Ίσα σκέλη σε σκαληνό

Ίσα σκέλη σε σκαληνό

Re: Ίσα σκέλη σε σκαληνό

Re: Ίσα σκέλη σε σκαληνό

Μέλη σε σύνδεση