Μεταβλητός λόγος

KARKAR · #1

: Μεταβλητός λόγος.png (18.84 KiB) Προβλήθηκε 530 φορές

Το ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle ABC , AB=AC , BC<2R$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (O,R)

,

του οποίου τα σημεία του A',B',C'

, είναι τα αντιδιαμετρικά των A,B,C

αντίστοιχα .

Οι τομές των ευθειών BC',AB',CA'

σχηματίζουν το τρίγωνο SPQ

.

α) Δείξτε ότι το SPQ

είναι όμοιο προς το $\displaystyle ABC$

β) Για ποια "μορφή" του $\displaystyle ABC$ , είναι $\dfrac{SPQ}{ABC}=4$ ;

γ) Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή του λόγου $\dfrac{SPQ}{ABC}$

Ορέστης Λιγνός · #2

α) Είναι $\widehat{BCP}=\widehat{BCA'}=\widehat{BAA'}=\dfrac{\widehat{A}}{2} \Rightarrow \widehat{BPC}=90-\dfrac{\widehat{A}}{2}=\widehat{B} \Rightarrow \widehat{QPS}=\widehat{B}$ .

Όμοια, $\widehat{PQS}=\widehat{B}$ , οπότε τα τρίγωνα $\vartriangle PQS, \vartriangle ABC$ είναι όμοια.

β) Είναι $\dfrac{(SQP)}{(ABC)}=4 \Rightarrow \dfrac{QP^2}{BC^2}=4 \Rightarrow QP=2BC$ (1).

Είναι QP=QC'+C'B+BP

(2).

Είναι $\widehat{BC'C}=\widehat{A} \Rightarrow \tan \widehat{BC'C}=\tan \widehat{A} \Rightarrow \dfrac{BC}{BC'}=\tan \widehat{A} \Rightarrow BC'=\dfrac{BC}{\tan \widehat{A}}$ (3).

Επίσης, $\widehat{BCP}=\widehat{BCA'}=\widehat{BAA'}=\widehat{BC'C} \Rightarrow \tan \widehat{BCP}=\tan \dfrac{\widehat{A}}{2} \Rightarrow BP=BC\tan \dfrac{\widehat{A}}{2}}$ (4).

Όμοια, $QC'=BC \tan \dfrac{\widehat{A}}{2}$ (5).

Από (2), (3), (4), (5) έχουμε $QP=(2\tan \dfrac{\widehat{A}}{2}+\dfrac{1}{\tan \widehat{A}})BC$ (6).

Από (1), (6),

$\displaystyle 2\tan \dfrac{\widehat{A}}{2}+\dfrac{1}{\tan \widehat{A}}=2 \mathop \Rightarrow \limits^{\displaystyle \tan \widehat{A}=\dfrac{2\tan \dfrac{\widehat{A}}{2}}{1-\tan^2\dfrac{\widehat{A}}{2}}} \ldots \Rightarrow \tan \dfrac{\widehat{A}}{2}=1, \tan \dfrac{\widehat{A}}{2}=\dfrac{1}{3}$

Αν $\tan \dfrac{\widehat{A}}{2}=1 \Rightarrow \widehat{A}=1 \Rightarrow \widehat{A}=90^\circ \Rightarrow BC=2R$ , άτοπο, αφού BC<2R

.

Έτσι, $\tan \dfrac{\widehat{A}}{2}=\dfrac{1}{3}$ . Έστω $AK \perp BC$ το ύψος του $\vartriangle ABC$ .

Είναι $\tan \dfrac{\widehat{A}}{2}=\dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{BK}{AK}=\dfrac{1}{3} \Rightarrow AK=3x, BK=x,AB=BC=x\sqrt{10}$ .

Οπότε, $\boxed{AB=AC=x\sqrt{10}, BC=2x}$ .

γ) Είναι $Κ=\dfrac{(SQP)}{(ABC)}=\dfrac{PQ^2}{BC^2}=(2\tan \dfrac{\widehat{A}}{2}+\dfrac{1}{\tan \widehat{A}})^2$ και αντικαθιστώντας $\displaystyle \tan \widehat{A}=\dfrac{2\tan \dfrac{\widehat{A}}{2}}{1-\tan^2\dfrac{\widehat{A}}{2}}$ θα προκύψει $K=(\dfrac{3x^2+1}{2x})^2, \tan \dfrac{\widehat{A}}{2}=x$ .

Είναι $K=(\dfrac{3x^2+1}{2x})^2 \geqslant (\dfrac{2x\sqrt{3}}{2x})^2=3 \Rightarrow \boxed{ \min \dfrac{(SQP)}{(ABC)}=3}$ με το ίσον για $\widehat{A}=60^\circ$ , όταν δηλαδή $\vartriangle ABC$ ισόπλευρο.

Μεταβλητός λόγος

Μεταβλητός λόγος

Re: Μεταβλητός λόγος

Μέλη σε σύνδεση