Μεταβλητός λόγος

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8722
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μεταβλητός λόγος

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από KARKAR » Δευ Ιούλ 24, 2017 7:19 am

Μεταβλητός  λόγος.png
Μεταβλητός λόγος.png (18.84 KiB) Προβλήθηκε 147 φορές
Το ισοσκελές τρίγωνο \displaystyle ABC , AB=AC , BC<2R είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (O,R) ,

του οποίου τα σημεία του A',B',C' , είναι τα αντιδιαμετρικά των A,B,C αντίστοιχα .

Οι τομές των ευθειών BC',AB',CA' σχηματίζουν το τρίγωνο SPQ .

α) Δείξτε ότι το SPQ είναι όμοιο προς το \displaystyle ABC

β) Για ποια "μορφή" του \displaystyle ABC , είναι \dfrac{SPQ}{ABC}=4 ;

γ) Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή του λόγου \dfrac{SPQ}{ABC}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1068
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Μεταβλητός λόγος

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Ορέστης Λιγνός » Σάβ Αύγ 12, 2017 5:21 pm

α) Είναι \widehat{BCP}=\widehat{BCA'}=\widehat{BAA'}=\dfrac{\widehat{A}}{2} \Rightarrow \widehat{BPC}=90-\dfrac{\widehat{A}}{2}=\widehat{B}
 \Rightarrow \widehat{QPS}=\widehat{B}.

Όμοια, \widehat{PQS}=\widehat{B}, οπότε τα τρίγωνα \vartriangle PQS, \vartriangle ABC είναι όμοια.

β) Είναι \dfrac{(SQP)}{(ABC)}=4 \Rightarrow \dfrac{QP^2}{BC^2}=4 \Rightarrow QP=2BC (1).

Είναι QP=QC'+C'B+BP (2).

Είναι \widehat{BC'C}=\widehat{A} \Rightarrow \tan \widehat{BC'C}=\tan \widehat{A} \Rightarrow \dfrac{BC}{BC'}=\tan \widehat{A} \Rightarrow BC'=\dfrac{BC}{\tan \widehat{A}} (3).

Επίσης, \widehat{BCP}=\widehat{BCA'}=\widehat{BAA'}=\widehat{BC'C} \Rightarrow \tan \widehat{BCP}=\tan \dfrac{\widehat{A}}{2} \Rightarrow BP=BC\tan \dfrac{\widehat{A}}{2}} (4).

Όμοια, QC'=BC \tan \dfrac{\widehat{A}}{2} (5).

Από (2), (3), (4), (5) έχουμε QP=(2\tan \dfrac{\widehat{A}}{2}+\dfrac{1}{\tan \widehat{A}})BC (6).

Από (1), (6),

\displaystyle 2\tan \dfrac{\widehat{A}}{2}+\dfrac{1}{\tan \widehat{A}}=2 \mathop \Rightarrow \limits^{\displaystyle \tan \widehat{A}=\dfrac{2\tan \dfrac{\widehat{A}}{2}}{1-\tan^2\dfrac{\widehat{A}}{2}}} \ldots \Rightarrow \tan \dfrac{\widehat{A}}{2}=1, \tan \dfrac{\widehat{A}}{2}=\dfrac{1}{3}

Αν \tan \dfrac{\widehat{A}}{2}=1 \Rightarrow \widehat{A}=1 \Rightarrow \widehat{A}=90^\circ \Rightarrow BC=2R, άτοπο, αφού BC<2R.

Έτσι, \tan \dfrac{\widehat{A}}{2}=\dfrac{1}{3}. Έστω AK \perp BC το ύψος του \vartriangle ABC.

Είναι \tan \dfrac{\widehat{A}}{2}=\dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{BK}{AK}=\dfrac{1}{3} \Rightarrow AK=3x, BK=x,AB=BC=x\sqrt{10}.

Οπότε, \boxed{AB=AC=x\sqrt{10}, BC=2x}.

γ) Είναι Κ=\dfrac{(SQP)}{(ABC)}=\dfrac{PQ^2}{BC^2}=(2\tan \dfrac{\widehat{A}}{2}+\dfrac{1}{\tan \widehat{A}})^2 και αντικαθιστώντας \displaystyle \tan \widehat{A}=\dfrac{2\tan \dfrac{\widehat{A}}{2}}{1-\tan^2\dfrac{\widehat{A}}{2}} θα προκύψει K=(\dfrac{3x^2+1}{2x})^2, \tan \dfrac{\widehat{A}}{2}=x.

Είναι K=(\dfrac{3x^2+1}{2x})^2 \geqslant (\dfrac{2x\sqrt{3}}{2x})^2=3 \Rightarrow \boxed{ \min \dfrac{(SQP)}{(ABC)}=3} με το ίσον για \widehat{A}=60^\circ, όταν δηλαδή \vartriangle ABC ισόπλευρο.


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες