Τουλάχιστον

KARKAR · #1

: Τουλάχιστον.png (14.02 KiB) Προβλήθηκε 902 φορές

Στο τρίγωνο του σχήματος τα σημεία M,K,N,L,S

είναι μέσα των τμημάτων BC,BM,AM,AB,LN

αντίστοιχα . Επίσης είναι : (BC)=8 , (AM)=6 ,AB=AC

. Από το

διέρχεται ευθεία η οποία τέμνει

τις πλευρές AB,AC

, στα σημεία P,Q

αντίστοιχα . Δείξτε ότι το (APQ)

δεν μπορεί να γίνει λιγότερο από

το (SNMK)

. Στην περίπτωση αυτή δείξτε ότι το

είναι μέσο και του

και υπολογίστε το (PQ)

.

#2

Επαναφορά!

KARKAR · #3

Διαγραφή σχολίου

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 16, 2018 9:05 pm
Τουλάχιστον.pngΣτο τρίγωνο του σχήματος τα σημεία είναι μέσα των τμημάτων

αντίστοιχα . Επίσης είναι : . Από το διέρχεται ευθεία η οποία τέμνει

τις πλευρές , στα σημεία αντίστοιχα . Δείξτε ότι το δεν μπορεί να γίνει λιγότερο από

το . Στην περίπτωση αυτή δείξτε ότι το είναι μέσο και του και υπολογίστε το .

Η

τέμνει την

στο

Θέτω

Εύκολα με Π. Θ βρίσκω $\displaystyle b = c = 2\sqrt {13}$

και με νόμο συνημιτόνου $\displaystyle \cos A = \frac{5}{{13}} \Rightarrow \sin A = \frac{{12}}{{13}}.$ Είναι $\boxed{(SNMK)=\frac{9}{2}}$

: Τουλάχιστον.ΚΑ..png (15.15 KiB) Προβλήθηκε 410 φορές

Μενέλαος στο ALT

με διατέμνουσα $\displaystyle \overline {PSQ} ,$ $\displaystyle \frac{{LS}}{{ST}} \cdot \frac{{QT}}{{QA}} \cdot \frac{{AP}}{{PL}} = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \cdot \frac{{\sqrt {13} - QA}}{{QA}} \cdot \frac{{\sqrt {13} + x}}{x} = 1 \Leftrightarrow$

$\displaystyle AQ = \frac{{13 + x\sqrt {13} }}{{4x + \sqrt {13} }}$ και $\displaystyle (APQ) = \frac{{AP \cdot AQ}}{2}\sin A = \frac{{6(\sqrt {13} + x)(13 + x\sqrt {13} )}}{{13(4x + \sqrt {13} )}},$ όπου με τη βοήθεια

παραγώγων βρίσκω ότι παρουσιάζει για $\boxed{x = \frac{{\sqrt {13} }}{2}}$ ελάχιστη τιμή $\boxed{{(APQ)_{\min }} = \frac{9}{2} = (SNMK)}$

Σε αυτή τη θέση τα P, Q

είναι μέσα των BL, AT

αντίστοιχα και το BPQN

είναι παραλληλόγραμμο, οπότε το

είναι μέσο του

και $\boxed{PQ=BN=5}$

Τουλάχιστον

Τουλάχιστον

Re: Τουλάχιστον

Re: Τουλάχιστον

Re: Τουλάχιστον

Μέλη σε σύνδεση