Συνευθειακά σε ισόπλευρο!

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Έστω ισόπλευρο τρίγωνο. Από τα και φέρνουμε κάθετες στις και αντίστοιχα που τέμνονται στο . Έστω τυχαίο σημείο της . Φέρνουμε από το κάθετες στις και , οι οποίες τέμνουν τις και στα και αντίστοιχα. Έστω το μέσο του . Να αποδειχθεί πως τα σημεία είναι συνευθειακά.

Συνευθειακά σε ισόπλευρο.png (20.42 KiB) Προβλήθηκε 1202 φορές

[vittasko]

Έστω τα σημεία και και ας είναι , οι προβολές του σημείου , επί των , αντιστοίχως.

Ισχύει λόγω και και ομοίως έχουμε λόγω .

Επίσης, έχουμε και όπου και .

Έστω τα σημεία και .

Συνευθειακά σε ισόπλευρο.

f=178_t=60840.png (20.31 KiB) Προβλήθηκε 1082 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο , ισχύει λόγω και ομοίως έχουμε

Το τρίγωνο τώρα, είναι ισόπλευρο λόγω της και από το εγγράψιμο τετράπλευρο

και ισχύει λόγω .

Ομοίως, ισχύει και γιατί , στο ισόπλευρο τρίγωνο , λόγω της και .

Τέλος, από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα , έχουμε και από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα , έχουμε γιατί ισχύει και .

Από

Από , σύμφωνα με το Θεώρημα των αναλόγων διαιρέσεων, συμπεραίνεται ότι τα σημεία είναι συνευθειακά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

[vittasko]

Μία άμεση τεκμηρίωση της ισχύος της ως άνω, είναι η εξής:

Στα όμοια ορθογώνια τρίγωνα , οι είναι ομόλογες ευθείες και επομένως αληθεύει η .

Κώστας Βήττας.

[min##]

Λίγο διαφορετικά:Με ,αρκεί (η διχοτομεί την ).Όμως,,με K,L ορισμένα όπως παραπάνω.Το ζητούμενο έπεται από θ. Διχοτόμων-ομοιότητα στα ..

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Ωραίες λύσεις !
Το θεώρημα ανάλογων διαιρέσεων μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε χωρίς απόδειξη σε διαγωνισμό προχωρημένης φάσης; Είναι γενικά γνωστό;
Την άσκηση την επινόησα λύνοντας κάποια άλλη. Στη λύση μου χρησιμοποίησα κι εγώ το ίδιο θεώρημα. Το είχαμε δει κι εδώ

[vittasko]

...Το θεώρημα ανάλογων διαιρέσεων μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε χωρίς απόδειξη σε διαγωνισμό προχωρημένης φάσης; Είναι γενικά γνωστό;

Αυτό το απλό στην διατύπωσή του και πολύ εύκολο στην απόδειξή του θεώρημα ( άμεση εφαρμογή του Θεωρήματος Θαλή ), δεν είναι ευρέως γνωστό στην ελληνική βιβλιογραφία ( την παλιότερη, μέχρι το 2000 ), που έχω υπόψη μου. Προσωπικά, το θεωρούσα δική μου κατασκευή, μέχρι που το ανακάλυψα ( πριν μία πενταετία περίπου ) σε ένα βιβλίο του Ι. ΙΩΑΝΝΙΔΗ, σχετικό με γεωμετρικούς τόπους. (*)

Τα τελευταία χρόνια εμφανίστηκε ( το θεώρημα ) στο διαδίκτυο και βασισμένες σ' αυτό, δόθηκαν αρκετές αποδείξεις, ενίοτε δύσκολων προβλημάτων.

Δηλώνω αναρμόδιος να απαντήσω στο ερώτημα εάν μπορεί να χρησιμοποιηθεί το θεώρημα αυτό χωρίς απόδειξη, αφού στο μόνο σύγχρονο βιβλίο που έχω δει αναφορά του, είναι σε βιβλίο του Σιλουανού (**), όπου μάλιστα η απόδειξή του παραλείπεται, ως πολύ απλή. Ο Σιλουανός ( το ίδιο ίσως και κάποιοι άλλοι ) σίγουρα, εκτιμώ, θα το δεχόταν χωρίς απόδειξη.

Νομίζω όμως, ότι εν γένει δεν είναι αποδεκτό χωρίς απόδειξη. Ας απαντήσουν άλλοι πιο αρμόδιοι.

(*) Ι. ΙΩΑΝΝΙΔΗΣ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ II - Γεωμετρικοί τόποι - Σελίδα 181 - Αυτοέκδοση (;) - Αθήνα 1964

(**) ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥ, ΣΙΛΟΥΑΝΟΣ ΜΠΡΑΖΙΤΙΚΟΣ - Μαθηματικοί Διαγωνισμοί 2 - Σελίδα 215 - Εκδόσεις Σαββάλας - Αθήνα 2013

Κώστας Βήττας.

[silouan]

Δηλώνω αναρμόδιος να απαντήσω στο ερώτημα εάν μπορεί να χρησιμοποιηθεί το θεώρημα αυτό χωρίς απόδειξη, αφού στο μόνο σύγχρονο βιβλίο που έχω δει αναφορά του, είναι σε βιβλίο του Σιλουανού (**), όπου μάλιστα η απόδειξή του παραλείπεται, ως πολύ απλή. Ο Σιλουανός ( το ίδιο ίσως και κάποιοι άλλοι ) σίγουρα, εκτιμώ, θα το δεχόταν χωρίς απόδειξη.

Νομίζω όμως, ότι εν γένει δεν είναι αποδεκτό χωρίς απόδειξη.

Είναι όπως ακριβώς το γράψατε εδώ.