"Διαφορική" Γεωμετρία

KARKAR · #1

: _Διαφορική _ Γεωμετρία.png (12.68 KiB) Προβλήθηκε 574 φορές

Το ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , έχει κάθετες πλευρές AB=c

και

.

Ο έγκυκλος του τριγώνου εφάπτεται των BC,CA,AB

στα σημεία D,E,Z

αντίστοιχα .

Οι προεκτάσεις των DE ,DZ

τέμνουν τις προεκτάσεις των BA,CA

στα σημεία S,P

αντίστοιχα . Υπολογίστε τη διαφορά AP-AS

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 31, 2018 12:14 pm
_Διαφορική _ Γεωμετρία.pngΤο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , έχει κάθετες πλευρές και .

Ο έγκυκλος του τριγώνου εφάπτεται των στα σημεία αντίστοιχα .

Οι προεκτάσεις των τέμνουν τις προεκτάσεις των στα σημεία

αντίστοιχα . Υπολογίστε τη διαφορά .

=

και

Edit: Άρση απόκρυψης.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 31, 2018 12:14 pm
_Διαφορική _ Γεωμετρία.pngΤο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , έχει κάθετες πλευρές και .

Ο έγκυκλος του τριγώνου εφάπτεται των στα σημεία αντίστοιχα .

Οι προεκτάσεις των τέμνουν τις προεκτάσεις των στα σημεία

αντίστοιχα . Υπολογίστε τη διαφορά .

$\displaystyle \vartriangle CEI = \vartriangle ESA$ αφού $\displaystyle \angle {C_1} = \angle {S_1}$ (οξείες με κάθετες πλευρές) και $\displaystyle EI = EA = \rho$ .Άρα $\displaystyle \boxed{AS = CE}$

Ομοίως, $\displaystyle \vartriangle AZP = \vartriangle IZB$ αφού $\displaystyle \angle {P_1} = \angle {B_1}$ (οξείες με κάθετες πλευρές) και $\displaystyle IZ = AZ = \rho$ .Άρα, $\displaystyle \boxed{AP = ZB}$

Τώρα , $\displaystyle AS + \rho = CE + \rho = b$ και $\displaystyle AP + \rho = BZ + \rho = c$ .Άρα, $\displaystyle \boxed{AP - AS = c - b}$

: d.g.png (18.01 KiB) Προβλήθηκε 508 φορές

STOPJOHN · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 31, 2018 12:14 pm
_Διαφορική _ Γεωμετρία.pngΤο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , έχει κάθετες πλευρές και .

Ο έγκυκλος του τριγώνου εφάπτεται των στα σημεία αντίστοιχα .

Οι προεκτάσεις των τέμνουν τις προεκτάσεις των στα σημεία

αντίστοιχα . Υπολογίστε τη διαφορά .

Καλημέρα

Στο τρίγωνο ACB

Από το Θεώρημα του Μενελάου με τέμνουσα $PZD,\dfrac{ZB}{AZ}.\dfrac{AP}{PC}.\dfrac{CD}{DB}=1\Leftrightarrow \dfrac{AP}{AP+b}=\dfrac{DB}{CD}\dfrac{AZ}{ZB},(1)$

Ομοίως στο τρίγωνο ABC

με τέμνουσα $CED,\dfrac{CE}{EA}.\dfrac{SA}{SB}.\dfrac{BD}{DC}=1\Leftrightarrow \dfrac{SA}{SA+c}=\dfrac{DC}{DB}.\dfrac{EA}{EC},(2)$

Από τις γνωστές σχέσεις είναι
$\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{\tau -b}{\tau -c},\dfrac{AZ}{ZB}=\dfrac{\tau -a}{\tau -b},\dfrac{EA}{EC}=\dfrac{\tau -a}{\tau -c},$

Οπότε οι σχέσεις (1),(2)

γράφονται

$AP=\dfrac{b(\tau -a)}{a-c},AS=\dfrac{c(\tau -a)}{a-b}$

Αρα
$AP-AS=\dfrac{2(\tau -a)^{2}(c-b)}{(a-c)(a-b)}=c-b$

γιατί $2(\tau -a)^{2}=(a-c)(a-b)$

Γιάννης

"Διαφορική" Γεωμετρία

"Διαφορική" Γεωμετρία

Re: "Διαφορική" Γεωμετρία

Re: "Διαφορική" Γεωμετρία

Re: "Διαφορική" Γεωμετρία

Μέλη σε σύνδεση