Γωνιώδης αναζήτηση

KARKAR · #1

: Aναζήτηση γωνιών.png (13.82 KiB) Προβλήθηκε 702 φορές

Επί του ημικυκλίου διαμέτρου AOB

, θεωρούμε σημεία S,P

, ώστε :

$\widehat{BAS}=\theta$ και $,\widehat{PAS}=30^0$ . Η διχοτόμος της $\widehat{PSA}$ , τέμνει

την

στο σημείο

. Αν $\widehat{APO}=\widehat{SDO}$ , υπολογίστε την $\theta$ .

Henri van Aubel · #2

Προφανώς $\vartriangle POS$ ισόπλευρο, άρα $\angle PSA=60^\circ-\vartheta .$ Επομένως έχω $\displaystyle \angle PSD=30^\circ-\frac{\vartheta }{2}$ και άρα $\displaystyle \angle DSO=30^\circ+\frac{\vartheta }{2}.$ Συνεπώς έχω $\displaystyle \angle DOS=120^\circ-\frac{3\vartheta }{2}\Rightarrow \angle POD=60^\circ-\frac{3\vartheta }{2}.$ Από θεώρημα διχοτόμου στο $\vartriangle PSA$ έχω $\displaystyle \frac{PD}{DA}=\frac{PS}{SA}=\frac{R}{SA}=\frac{1}{2\cos\vartheta }=\frac{\sin\left ( 60^\circ-\displaystyle\frac{3\vartheta }{2} \right )}{\sin\left ( 60^\circ-\displaystyle\frac{\vartheta }{2} \right )}$
Τελικά $\vartheta =24^\circ$
Επιφυλάσσομαι για κομψότερες προσεγγίσεις.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 23, 2018 12:34 pm
Aναζήτηση γωνιών.pngΕπί του ημικυκλίου διαμέτρου , θεωρούμε σημεία , ώστε :

$\widehat{BAS}=\theta$ και $,\widehat{PAS}=30^0$ . Η διχοτόμος της $\widehat{PSA}$ , τέμνει

την στο σημείο . Αν $\widehat{APO}=\widehat{SDO}$ , υπολογίστε την $\theta$ .

Η καθεμία από τις πράσινες γωνίες είναι $30^\circ +\theta$ και η

εφάπτεται στον περίκυκλο του PDE,

οπότε $\boxed{OD^2=OE\cdot R}$ (1)

Είναι ακόμα $\displaystyle 2\omega = 60^\circ - \theta \Leftrightarrow \omega + \theta = 30^\circ + \frac{\theta }{2}$

: Γωνιώδης αναζήτηση.KAR.png (30.12 KiB) Προβλήθηκε 195 φορές

Με νόμο ημιτόνων στα τρίγωνα ODS, OES

έχω:

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} \frac{{OD}}{{\sin \left( {30^\circ + \frac{\theta }{2}} \right)}} = \frac{R}{{\sin (30^\circ + \theta )}} \hfill \\ \hfill \\ \frac{{OE}}{{\sin \left( {30^\circ + \frac{\theta }{2}} \right)}} = \frac{R}{{\cos \frac{\theta }{2}}} \hfill \\ \end{gathered} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} \frac{{{R^2}{{\sin }^2}\left( {30^\circ + \frac{\theta }{2}} \right)}}{{{{\sin }^2}(30^\circ + \theta )}} = \frac{{{R^2}\sin \left( {30^\circ + \frac{\theta }{2}} \right)}}{{\cos \frac{\theta }{2}}} \Leftrightarrow$

$\displaystyle 2{\sin ^2}(30^\circ + \theta ) = 2sin\left( {30^\circ + \frac{\theta }{2}} \right)\cos \frac{\theta }{2} = \sin (30^\circ + \theta ) + \sin 30^\circ \mathop \Rightarrow \limits^{\sin (30^\circ + \theta ) = x}$

$\displaystyle 4{x^2} - 2x - 1 = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{x > 0} x = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{4} \Rightarrow \sin (30^\circ + \theta ) = \sin 54^\circ$ και $\boxed{\theta=24^\circ}$

Γωνιώδης αναζήτηση

Γωνιώδης αναζήτηση

Re: Γωνιώδης αναζήτηση

Re: Γωνιώδης αναζήτηση

Μέλη σε σύνδεση