Ημικύκλιο προς κύκλο

Γιώργος Μήτσιος · #1

Χαιρετώ.

: Ημικύκλιο προς κύκλο.PNG (8.16 KiB) Προβλήθηκε 503 φορές

Το ορθογώνιο στο

τρίγωνο

έχει

.

Έστω $CP=1 ..P \in AC$ και

το σημείο της διαμέσου

ώστε να είναι 3IM=4IC

.

Η

τέμνει την

στο

. Θεωρούμε το ημικύκλιο διαμέτρου

και τον εγγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου.

Να υπολογιστεί ο λόγος των εμβαδών του ημικυκλίου προς τον κύκλο ..Ευχαριστώ , Γιώργος

Al.Koutsouridis · #2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 22, 2018 1:20 am
Χαιρετώ.
Ημικύκλιο προς κύκλο.PNG
Το ορθογώνιο στο τρίγωνο έχει .

Έστω $CP=1 ..P \in AC$ και το σημείο της διαμέσου ώστε να είναι .

Η τέμνει την στο . Θεωρούμε το ημικύκλιο διαμέτρου και τον εγγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου.

Να υπολογιστεί ο λόγος των εμβαδών του ημικυκλίου προς τον κύκλο ..Ευχαριστώ , Γιώργος

: hmikuklio_pros_kuklo.png (15.76 KiB) Προβλήθηκε 456 φορές

Έστω

το σημείο τομής της ευθείας

με την

. Από το θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο ACM

με διατέμνουσα την

έχουμε

$\dfrac{AQ}{QM} \cdot \dfrac{MI}{IC} \cdot \dfrac{CP}{PA} = 1 \Rightarrow \dfrac{AQ}{QM} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow \dfrac{AQ}{AQ-AM} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow AQ = 6$ (1)

Από το θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο ACB

με διατέμνουσα την

έχουμε

$\dfrac{AQ}{QB} \cdot \dfrac{BN}{NC} \cdot \dfrac{CP}{PA} = 1 \Rightarrow \dfrac{BN}{NC} = 2 \cdot \dfrac{2}{6} =\dfrac{2}{3} \Rightarrow CN =3$

(λόγω της (1) και του γεγονότος ότι BC =5

από το Πυθαγόρειο θεώρημα)

Αν

η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου είναι και

του ημικυκλίου τότε ο ζητούμενος λόγος εμβαδών ισούται με

$\lambda = \dfrac{1}{2} (\dfrac{R}{r})^2 = \dfrac{9}{8}$

Αφού $R= \dfrac{CN}{2} = \dfrac{3}{2}$ και r=1

από την σχέση E=pr

.

Ημικύκλιο προς κύκλο

Ημικύκλιο προς κύκλο

Re: Ημικύκλιο προς κύκλο

Μέλη σε σύνδεση