Μεγάλες κατασκευές 4
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
Μεγάλες κατασκευές 4
σημείο του , , ώστε προεκτείνοντας την κατά τμήμα
και φέροντας το εφαπτόμενο τμήμα , να προκύψει : .
Δώστε λύση στο θέμα , ή προσπαθήστε να εξηγήσετε γιατί οι ακόλουθες ενέργειες
οδηγούν σε λύση : Στο σημείο , με , υψώνω κάθετη
και έστω το μέσο της . Η τέμνει το τόξο στο
Λέξεις Κλειδιά:
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5956
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Μεγάλες κατασκευές 4
Αν τότε έχουμε και
Τώρα για κατασκευάζουμε κάπου ένα τρίγωνο , ώστε
Στη συνέχεια κατασκευάζουμε γωνία και προσδιορίζουμε τοκαι γωνίακαι προσδιορίζουμε το
Στη προέκταση της παίρνουμε και προσδιορίζουμε το σημείο
Τώρα για κατασκευάζουμε κάπου ένα τρίγωνο , ώστε
Στη συνέχεια κατασκευάζουμε γωνία και προσδιορίζουμε τοκαι γωνίακαι προσδιορίζουμε το
Στη προέκταση της παίρνουμε και προσδιορίζουμε το σημείο
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Re: Μεγάλες κατασκευές 4
( προκύπτει και από το ότι η πράσινη στο είναι γωνία χορδής - εφαπτομένης ) , μπορούμε
πλέον να υπολογίσουμε το , συναρτήσει της ακτίνας . Αυτό μπορεί να γίνει είτε
με υπολογισμό του εμβαδού και χρήση του τύπου : , κάτι πολύ κοπιαστικό ,
ή με χρήση του τύπου της τρίτης χορδής . H τρίτη χορδή , δίνεται από τον τύπο :
, η οποία επιλυόμενη με τα δεδομένα
του σχήματος , δίνει : , μήκος εύκολα κατασκευάσιμο .
Ίσως είμαστε τώρα πιο κοντά στην εξήγηση της αρχικά προταθείσας κατασκευής
Re: Μεγάλες κατασκευές 4
Ανάλυση
Βήμα πρώτο
Θεωρώ πρώτα- πρώτα ισοσκελές τρίγωνο και σημείο της για το οποίο και .
Από την τελευταία προκύπτουν άμεσα ότι : και η ευθεία εφάπτεται του κύκλου που διέρχεται από τα .
Έτσι
Βήμα δεύτερο .
Φέρνω από το παράλληλη στην που τέμνει τα ύψη του ισοσκελούς τριγώνου , τα στα αντίστοιχα . Προφανώς :
Το είναι μέσο του ,άρα το είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου .
Αν η ευθεία τμήση την στο αυτό θα είναι μέσο του .
Επειδή τα βλέπουν υπό ορθή γωνία την από το εγγράψιμο τετράπλευρο
και λόγω της έχω :
και άρα
Βήμα. Τρίτο.
Φέρνω τώρα και τη διατέμνουσα στο ορθογώνιο τρίγωνο και από το Θ. Μενελάου έχω :
Η τελευταία μας εξασφαλίζει:
.
Συνεπώς το τρίγωνο είναι ισοσκελές , το τραπέζιο είναι ισοσκελές.
Έστω λοιπόν το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου στο τραπέζιο αυτό και
η διάμετρος από το . Προφανώς η ευθεία και άρα η ευθεία
διέρχεται στο μέσο της ακτίνας . Επειδή δε η
( υπό χορδής κι εφαπτομένης) τα ορθογώνια τρίγωνα , είναι όμοια.
Αφού τώρα .
Κατασκευή : Με κέντρο το μέσο της ακτίνας γράφω τον κύκλο . Η εφαπτομένη
του κύκλου αυτού( μέσα στο ) από το τέμνει τον κύκλο στο .
Φέρνω την εφαπτομένη του κύκλου στο που τέμνει τον κύκλο
στο . Η τέμνει τον κύκλο στο ζητούμενο σημείο
( Τα εκατέρωθεν της )
Βήμα πρώτο
Θεωρώ πρώτα- πρώτα ισοσκελές τρίγωνο και σημείο της για το οποίο και .
Από την τελευταία προκύπτουν άμεσα ότι : και η ευθεία εφάπτεται του κύκλου που διέρχεται από τα .
Έτσι
Βήμα δεύτερο .
Φέρνω από το παράλληλη στην που τέμνει τα ύψη του ισοσκελούς τριγώνου , τα στα αντίστοιχα . Προφανώς :
Το είναι μέσο του ,άρα το είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου .
Αν η ευθεία τμήση την στο αυτό θα είναι μέσο του .
Επειδή τα βλέπουν υπό ορθή γωνία την από το εγγράψιμο τετράπλευρο
και λόγω της έχω :
και άρα
Βήμα. Τρίτο.
Φέρνω τώρα και τη διατέμνουσα στο ορθογώνιο τρίγωνο και από το Θ. Μενελάου έχω :
Η τελευταία μας εξασφαλίζει:
.
Συνεπώς το τρίγωνο είναι ισοσκελές , το τραπέζιο είναι ισοσκελές.
Έστω λοιπόν το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου στο τραπέζιο αυτό και
η διάμετρος από το . Προφανώς η ευθεία και άρα η ευθεία
διέρχεται στο μέσο της ακτίνας . Επειδή δε η
( υπό χορδής κι εφαπτομένης) τα ορθογώνια τρίγωνα , είναι όμοια.
Αφού τώρα .
Κατασκευή : Με κέντρο το μέσο της ακτίνας γράφω τον κύκλο . Η εφαπτομένη
του κύκλου αυτού( μέσα στο ) από το τέμνει τον κύκλο στο .
Φέρνω την εφαπτομένη του κύκλου στο που τέμνει τον κύκλο
στο . Η τέμνει τον κύκλο στο ζητούμενο σημείο
( Τα εκατέρωθεν της )
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες