Υπαρκτό γινόμενο

KARKAR · #1

: Υπαρκτό γινόμενο.png (16.55 KiB) Προβλήθηκε 185 φορές

Σημείο

κινείται στο τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AB}$ , ακτίνας

. Σχεδιάζω το ορθογώνιο

και ισοσκελές τρίγωνο SAT

. Δείξτε ότι η

διέρχεται από το

και υπολογίστε

το μέγιστο του γινομένου : $ST\cdot SB$

S.E.Louridas · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 12, 2024 2:15 pm
Σημείο κινείται στο τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AB}$ , ακτίνας . Σχεδιάζω το ορθογώνιο
και ισοσκελές τρίγωνο . Δείξτε ότι η διέρχεται από το και υπολογίστε
το μέγιστο του γινομένου : $ST\cdot SB$

Αν

το συμμετρικό του

ως προς το κέντρο

και αναφέρομαι στον κύκλο (O,OA)

, τότε, $\displaystyle{\angle AST= \angle AQB=\frac{\pi}{4}}$ οπότε η

ευθεία

διέρχεται από το

Για το δεύτερο ερώτημα και επειδή το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ATS

διατηρείται όμοιο προς τον εαυτό του αρκεί να προσδιορίσουμε

το μέγιστο του γινομένου $SA\cdot SB.$

Αν τώρα

η απόσταση του

από την

προκύπτει $SA\cdot SB=2rd$ και έτσι αναζητούμε το μέγιστο

που επιτυγχάνεται όταν το

ταυτιστεί με το μέσο

του τόξου

στο άλλο ημιεπίπεδο από αυτό που βρίσκεται το κέντρο

του τεταρτοκυκλίου μας.

Για τον υπολογισμοί κατανοούμε άμεσα ότι $\displaystyle{d=r-\frac{r\sqrt{2}}{2}=\frac{2-\sqrt{2}}{2}r}\Rightarrow SA\cdot SB=\left ( 2-\sqrt{2} \right )r^2.$

Καταλήγοντας παίρνουμε $\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}ST\cdot SB=\left ( 2-\sqrt{2} \right )r^2\Rightarrow \left ( ST\cdot SB \right )_{max}=2\left ( \sqrt{2} -1\right )r^2 }.$

: KAR.png (82.35 KiB) Προβλήθηκε 135 φορές

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 12, 2024 2:15 pm
Υπαρκτό γινόμενο.pngΣημείο κινείται στο τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AB}$ , ακτίνας . Σχεδιάζω το ορθογώνιο

και ισοσκελές τρίγωνο . Δείξτε ότι η διέρχεται από το και υπολογίστε

το μέγιστο του γινομένου : $ST\cdot SB$

Είναι $\displaystyle A\widehat SB = 135^\circ$ και λόγω του ορθογωνίου ισοσκελούς SAT,

$\displaystyle A\widehat ST = 45^\circ,$ άρα τα T, S, B

είναι συνευθειακά. Με τους συμβολισμούς του σχήματος έχω:

: Υπαρκτό γινόμενο.png (18.17 KiB) Προβλήθηκε 126 φορές

$\displaystyle ST \cdot SB = xy\sqrt 2.$ Αλλά το

μεγιστοποιείται όταν x=y

και με νόμο συνημιτόνου στο SAB

βρίσκω

$\boxed{x = r\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}$ Τότε όμως είναι $\boxed{{(ST \cdot SB)_{\max }} = 2{r^2}\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}$

Υπαρκτό γινόμενο

Υπαρκτό γινόμενο

Re: Υπαρκτό γινόμενο

Re: Υπαρκτό γινόμενο

Μέλη σε σύνδεση