Γεωμετρία και Διαιρετότητα

sakis1963 · #1

: 2024.04.07 mathematica.jpg (42.88 KiB) Προβλήθηκε 268 φορές

Στο τετράγωνο του σχήματος, αν τα τμήματα a, b

είναι περιττοί αριθμοί με $a> b\geq 3$ ,

δείξτε ότι το εμβαδόν

, του σκιασμένου τριγώνου είναι άρτιος αριθμός

STOPJOHN · #2

sakis1963 έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 07, 2024 8:53 pm
2024.04.07 mathematica.jpg
Στο τετράγωνο του σχήματος, αν τα τμήματα είναι περιττοί αριθμοί με $a> b\geq 3$ ,

δείξτε ότι το εμβαδόν , του σκιασμένου τριγώνου είναι άρτιος αριθμός

Καλημέρα Σάκη,

Eστω $AB=x,TL//AD,IJ//AB,OT=\upsilon _{1},OI=\upsilon_{2}$ Τότε

$S=\dfrac{x^{2}}{2}-(ODC)-(OBC)=\dfrac{x}{2}(\upsilon_{1}-\upsilon _{2}),(1)$

Από Π.Θ στα τρίγωνα

$AOT,OLC,\alpha ^{2}=(x-\upsilon _{2})^{2}+\upsilon_{1}^{2},(2), b^{2}=(x-\upsilon _{1})^{2}+\upsilon _{2}^{2},(3), (2),(3)\Rightarrow \upsilon _{1}-\upsilon _{2}=\dfrac{a^{2}-b^{2}}{2x},(4), (1),(4)\Rightarrow S=\dfrac{a^{2}-b^{2}}{4}$

είναι $a=2k+1,b=2\lambda +1,k,\lambda,k> \lambda \geq \dfrac{3}{2}$

Οπότε $S=\kappa ^{2}+\kappa -\lambda ^{2}-\lambda ,$

Περιπτώσεις για τα $\kappa ,\lambda$ αρτιοι ,περιττοί

α. $k=2\theta ,\lambda =2\mu \Rightarrow \kappa -\lambda =2(\theta -\mu ),$

β. $k=2\theta ,\lambda =2\mu +1\Rightarrow \kappa +\lambda +1=2(\theta +\mu +1), γ. \kappa =2\theta +1,\lambda =2\mu +1\Rightarrow \kappa -\lambda =2\theta -2\mu$ Αρα $S=2\sigma$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

sakis1963 έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 07, 2024 8:53 pm
2024.04.07 mathematica.jpg
Στο τετράγωνο του σχήματος, αν τα τμήματα είναι περιττοί αριθμοί με $a> b\geq 3$ ,

δείξτε ότι το εμβαδόν , του σκιασμένου τριγώνου είναι άρτιος αριθμός

Ας είναι

οι προβολές του

στις διαγωνίους AC,BD

.

Στο τρίγωνο BLD

με 2ο θ.διαμέσου έχουμε a^2-b^2=2BD.OM=2AC.KL=4S

Έτσι $S= \dfrac{a^2-b^2}{4} = \dfrac{(2m+1)^2-(2n+1)^2}{4} =m(m+1)-n(n+1)$ που είναι άρτιος θετικός ως διαφορά δυο άρτιων

: γεωμετρία και διαιρετότητα.png (19.84 KiB) Προβλήθηκε 169 φορές

Γεωμετρία και Διαιρετότητα

Γεωμετρία και Διαιρετότητα

Re: Γεωμετρία και Διαιρετότητα

Re: Γεωμετρία και Διαιρετότητα

Μέλη σε σύνδεση