Αντιστροφή λόγου

KARKAR · #1

: Αντιστροφή λόγου.png (22.36 KiB) Προβλήθηκε 214 φορές

Η διάμεσος

του ορθογωνίου τριγώνου ABC

, τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο

.

α) Αν : $\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{3}{4}$ , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{SA}{SB}$ ... β) Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AC}{AB}$ , ώστε : $\dfrac{SA}{SB}=2$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Απρ 09, 2024 7:52 pm
Αντιστροφή λόγου.pngΗ διάμεσος του ορθογωνίου τριγώνου , τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο .

α) Αν : $\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{3}{4}$ , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{SA}{SB}$ ... β) Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AC}{AB}$ , ώστε : $\dfrac{SA}{SB}=2$ .

Από τα όμοια τρίγωνα MAS, MBC

και

έχουμε:

: Αντιστροφή λόγου.png (13.84 KiB) Προβλήθηκε 176 φορές

$\displaystyle \frac{{SA}}{{BC}} = \frac{{AM}}{{MC}} = \frac{{MB}}{{MC}} = \frac{{SB}}{{AC}} \Rightarrow \frac{{SA}}{{SB}} = \frac{{BC}}{{AC}} \Leftrightarrow \frac{{S{A^2}}}{{S{B^2}}} = 1 + \frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}}$

α) $\displaystyle \frac{{S{A^2}}}{{S{B^2}}} = 1 + \frac{{16}}{9} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{SA}}{{SB}} = \frac{5}{3}}$ ....... β) $\displaystyle 4 = 1 + \frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Απρ 09, 2024 7:52 pm
Αντιστροφή λόγου.pngΗ διάμεσος του ορθογωνίου τριγώνου , τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο .

α) Αν : $\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{3}{4}$ , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{SA}{SB}$ ... β) Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AC}{AB}$ , ώστε : $\dfrac{SA}{SB}=2$ .

Επειδή $\vartriangle MCB \approx \vartriangle MAS \Rightarrow \dfrac{{SA}}{{BC}} = \dfrac{{MS}}{{MB}} \Rightarrow \dfrac{u}{{2R}} = \dfrac{a}{{ax}} = \dfrac{1}{x}\,\,\,\left( 1 \right)$ . Αλλά $2R = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = x\sqrt {4{a^2} + {b^2}} \,\,\,\left( 2 \right)$

: Αντιστροφή λόγου.png (22.83 KiB) Προβλήθηκε 149 φορές

Τώρα η $\left( 1 \right)$ λόγω της $\left( 2 \right)$ δίδει , $u = \sqrt {4{a^2} + {b^2}}$ και άρα: $\boxed{\dfrac{{S{A^2}}}{{S{B^2}}} = 4\dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + 1}$

Αν $\dfrac{a}{b} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{{S{A^2}}}{{S{B^2}}} = \dfrac{{25}}{9} \Rightarrow \dfrac{{SA}}{{SB}} = \dfrac{5}{3}$ , ενώ αν $\dfrac{{SA}}{{SB}} = 2 \Rightarrow \dfrac{a}{b} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \dfrac{{2a}}{b} = \sqrt 3 \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AC}} = \sqrt 3$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Απρ 09, 2024 7:52 pm
Αντιστροφή λόγου.pngΗ διάμεσος του ορθογωνίου τριγώνου , τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο .

α) Αν : $\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{3}{4}$ , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{SA}{SB}$ ... β) Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AC}{AB}$ , ώστε : $\dfrac{SA}{SB}=2$ .

$\dfrac{(ACS)}{(BSC)}= \dfrac{AM}{MC}=1 \Rightarrow \dfrac{b.AS}{SB.BC}=1 \Rightarrow \dfrac{AS}{SB}= \dfrac{ \sqrt{b^2+c^2} }{b}= \sqrt{1+ (\dfrac{c}{b})^2 }= \dfrac{5}{3}$

$\dfrac{AS}{SB}=2 \Rightarrow \sqrt{1+ (\dfrac{c}{b})^2 }= 2 \Rightarrow \dfrac{c}{b}= \sqrt{3} \Rightarrow \dfrac{b}{c}= \dfrac{ \sqrt{3} }{3}$

: Αντιστροφή λόγου.png (11.49 KiB) Προβλήθηκε 123 φορές

Αντιστροφή λόγου

Αντιστροφή λόγου

Re: Αντιστροφή λόγου

Re: Αντιστροφή λόγου

Re: Αντιστροφή λόγου

Μέλη σε σύνδεση