Ισότητες τμημάτων

#1

: Ισότητες τμημάτων στο mathematica.png (20.08 KiB) Προβλήθηκε 183 φορές

Δίδεται $\vartriangle ABC$ με , AD,BE,CZ

τα ύψη του . Ας είναι $K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L$ οι προβολές των $B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C$ στις $ZD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ED$ .

Αν

το μέσο του

δείξετε ( με όποια σειρά θέλετε) ότι , $ZK = EL\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MK = ML$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

Doloros έγραψε: ↑
Τετ Απρ 24, 2024 10:15 pm
Ισότητες τμημάτων στο mathematica.png

Δίδεται $\vartriangle ABC$ με , τα ύψη του . Ας είναι $K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L$ οι προβολές των $B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C$ στις $ZD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ED$ .

Αν το μέσο του δείξετε ( με όποια σειρά θέλετε) ότι , $ZK = EL\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MK = ML$

$\angle BZD= \angle ACB \Rightarrow \triangle ZBK \simeq \triangle ACD \Rightarrow \dfrac{ZK}{ZB}= \dfrac{CD}{AC} (1)$

$\angle HED= \angle ECL$ (οξείες με κάθετες πλευρές) και $\angle HED =\angle HCD$ άρα

$\angle ECL =\angle HCD\Rightarrow \triangle ECL \simeq \triangle ZBC$

Άρα $\dfrac{EL}{ZB}= \dfrac{EC}{BC} (2)$ .Αλλά $CE.CA=CD.BC\Rightarrow \dfrac{CD}{AC}= \dfrac{EC}{BC}$

Από $(1),(2) \Rightarrow \dfrac{ZK}{ZB}=\dfrac{EL}{ZB} \Rightarrow ZK=EL$

Λόγω του εγγράψιμμου AZDC

και του ισοσκελούς τριγώνου EMC

,οι μπλε γωνίες είναι ίσες

κι επειδή $\angle MZB= \angle MBZ= \angle DEC \Rightarrow \angle KZM= \angle LEM$

Επειδή τα τρίγωνα ZKM,EML

έχουν επιπλέον $ZK=EL, ZM=EM= \dfrac{BC}{2}$ θα είναι ίσα (Π-Γ-Π) ,άρα MK=ML

: Ισότητες τμημάτων.png (23.93 KiB) Προβλήθηκε 170 φορές

#3

Doloros έγραψε: ↑
Τετ Απρ 24, 2024 10:15 pm
Ισότητες τμημάτων στο mathematica.png

Δίδεται $\vartriangle ABC$ με , τα ύψη του . Ας είναι $K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L$ οι προβολές των $B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C$ στις $ZD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ED$ .

Αν το μέσο του δείξετε ( με όποια σειρά θέλετε) ότι , $ZK = EL\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MK = ML$

$\displaystyle \varphi = 90^\circ - D\widehat EC = 90^\circ - \widehat B = \theta .$ Άρα τα τρίγωνα ELC, BZC

είναι όμοια. Με παρόμοιο τρόπο

βρίσκω ότι και τα ZBK, EBC

είναι όμοια. Από τις ομοιότητες είναι $\displaystyle EL = \frac{{BZ \cdot EC}}{{BC}} = ZK$

: Ισότητες τμημάτων.png (22.44 KiB) Προβλήθηκε 129 φορές

Τα τρίγωνα KZM, LEM

έχουν $EL=ZK, ZM=EM=\dfrac{BC}{2}$ και τις μπλε

γωνίες ίσες από το εγγράψιμο DMEZ

(κύκλος Euler). Άρα είναι ίσα και MK=ML.

Ισότητες τμημάτων

Ισότητες τμημάτων

Re: Ισότητες τμημάτων

Re: Ισότητες τμημάτων

Μέλη σε σύνδεση